Где -объём параллелепипеда, построенного на векторах , и . 1 страница

Для векторов , и , заданных своими координатами , , смешанное произведение вычисляется по формуле: .

Смешанное произведение применяют: 1) для вычисления объёмов тетраэдра и параллелепипеда, построенных на векторах , и , как на рёбрах, по формуле: ; 2) в качестве условия компланарности векторов , и : и - компланарны.

Тема 5. Прямые линии и плоскости.

Нормальным вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор перпендикулярный данной прямой. Направляющим вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор параллельный данной прямой.

Прямая на плоскости в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение прямой, где - нормальный вектор прямой;

2) - уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору ;

3) - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение);

4) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки , ;

5) -уравнения прямой с угловым коэффициентом , где - точка через которую прямая проходит; () – угол, который прямая составляет с осью ; - длина отрезка (со знаком ), отсекаемого прямой на оси (знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

6) -уравнение прямой в отрезках, где и - длины отрезков (со знаком ), отсекаемых прямой на координатных осях и (знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

Расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнением на плоскости, находится по формуле:

.

Угол , () между прямыми и , заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из следующих формул:

; .

, если или .

,если или

Координаты точки пересечения прямых и находятся как решение системы линейных уравнений: или .

Нормальным вектором плоскости , называется всякий ненулевой вектор перпендикулярный данной плоскости.

Плоскость в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение плоскости, где - нормальный вектор плоскости;

2) - уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору ;

3) - уравнение плоскости, проходящей через три точки , и ;

4) -уравнение плоскости в отрезках, где , и - дины отрезков (со знаком ), отсекаемых плоскостью на координатных осях , и (знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

Расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением , находится по формуле:

.

Угол , () между плоскостями и , заданными общими уравнениями, находится по формуле:

.

, если

, если .

Прямая в пространстве в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей, где и - нормальные векторы плоскостей и ;

2) - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение);

3) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки , ;

4) -уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору , (параметрическое уравнение);

Угол , () между прямыми и в пространстве, заданными каноническими уравнениями находится по формуле:

.

, если .

, если .

Координаты точки пересечения прямой , заданной параметрическим уравнением и плоскости , заданной общим уравнением, находятся как решение системы линейных уравнений: .

Угол , () между прямой , заданной каноническим уравнением и плоскостью , заданной общим уравнением находится по формуле: .

, если .

, если .

Тема 6. Кривые второго порядка.

Алгебраической кривой второго порядка в системе координат называется кривая , общее уравнение которой имеет вид:

,

где числа - не равны нулю одновременно. Существует следующая классификация кривых второго порядка: 1) если , то общее уравнение определяет кривую эллиптического типа (окружность (при ), эллипс (при ), пустое множество, точку); 2) если , то - кривую гиперболического типа (гиперболу, пару пересекающихся прямых); 3) если , то - кривую параболического типа (параболу, пустое множество, прямую, пару параллельных прямых). Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются невырожденными кривыми второго порядка.

Общее уравнение , где , определяющее невырожденную кривую (окружность, эллипс, гиперболу, параболу), всегда (методом выделения полных квадратов) можно привести к уравнению одного из следующих видов:

1а) -уравнение окружности с центром в точке и радиусом (рис. 5).

1б) - уравнение эллипса с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа и - называются полуосями эллипса; прямоугольник со сторонами , параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником эллипса; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами эллипса.

Для построения эллипса в системе координат : 1) отмечаем центр эллипса; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами , параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон только в вершинах эллипса (рис.6).

Аналогично строится и окружность, основной прямоугольник которой имеет стороны (рис. 5).

Рис.5 Рис 6

2) - уравнения гипербол (называемых сопряжёнными) с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа и - называются полуосями гипербол; прямоугольник со сторонами , параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником гипербол; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами гипербол; прямые , проходящие через противоположные вершины основного прямоугольника – асимптотами гипербол.

Для построения гиперболы в системе координат : 1) отмечаем центр гиперболы ; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4) проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктирной линией прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко, при бесконечном удалении от начала координат, приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 7) или гиперболы (рис. 8).

Рис.7 Рис.8

3а) - уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси (рис. 9).

3б) - уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси (рис. 10).

Для построения параболы в системе координат : 1) отмечаем вершину параболы ; 2) проводим через вершину пунктирной линией ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом знака параметра параболы : при - в положительную сторону координатной оси, параллельной оси симметрии параболы (рис. 9а и 10а); при - в отрицательную сторону координатной оси (рис.9б и 10б).

Рис. 9а Рис. 9б

Рис. 10а Рис. 10б

Тема 7. Множества. Числовые множества. Функция.

Под множеством понимают некоторую совокупность объектов любой природы, различимых между собой и мыслимую как единое целое. Объекты, составляющие множество называют его элементами. Множество может быть бесконечным (состоит из бесконечного числа элементов), конечным (состоит из конечного числа элементов), пустым (не содержит ни одного элемента). Множества обозначают: , а их элементы: . Пустое множество обозначают .

Множество называют подмножеством множества , если все элементы множества принадлежат множеству и пишут . Множества и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов и пишут . Два множества и будут равны тогда и только тогда, когда и .

Множество называют универсальным (в рамках данной математической теории), если его элементами являются все объекты, рассматриваемые в данной теории.

Множество можно задать: 1) перечислением всех его элементов, например: (только для конечных множеств); 2) заданием правила определения принадлежности элемента универсального множества , данному множеству : .

Объединением множеств и называется множество

Дата добавления: 2014-12-08