Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Розв’язання невироджених лінійних систем




Нехай дана система п лінійних рівнянь з п невідомими:

(4.3)

або в матричній формі .

Основна матриця А такої системи квадратна. Визначник цієї матриці

називається визначником системи (4.3).

Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система називається невиродженою, в протилежному випадку – виродженою.

Знайдемо розв’язок даної системи рівнянь у випадку, коли . В цьому випадку для матриці А існує обернена матриця .

Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю , отримаємо . Оскільки і , то

. (4.4)

Знаходження розв’язку системи за формулою (4.4) називають матричним способом розв’язку системи.

Матричну рівність (4.4) запишемо у вигляді

,

тобто

.

Звідси випливає, що

;

;

………………………………..

.

Сума є розкладом визначника

за елементами першого стовпчика. Визначник отримується з визначника шляхом заміни першого стовпчика стовпчиком вільних членів.

Таким чином, .

Аналогічно: , де – отриманий з шляхом заміни другого стовпчика коефіцієнтів стовпчиком вільних членів; ,…, .

Формули

, (4.5)

називаються формулами Крамера.

Таким чином, невироджена система п лінійних рівнянь з п невідомими має єдиний розв’язок, який може бути знайденим матричним способом (4.4) або за формулами Крамера (4.5).

Приклад 4.1. Розв’язати систему рівнянь

а) матричним способом; б) за формулами Крамера.

Розв’язок. а) Матриця системи має вигляд:

.

Знайдемо

Отже, система невироджена.

Обернена матриця

.

Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

Тоді

.

За формулою (4.4)

Перевірка:

Відповідь:

б) За формулами (4.5) ; ; .

Знайдемо

;

Таким чином, ; ;

Відповідь: t

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 362; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.