Критерии устойчивости системы управления

Необходимые и достаточные условия устойчивости системы определяются с помощью критерия Рауса, критерия Михайлова и амплитудно-фазового критерия Найквиста.

Первый критерий устойчивости применяется в виде неравенств составленных по особым правилам (алгоритму) из коэффициентов характеристического уравнения А(Р)=0 замкнутой системы. Для устойчивости линейной системы первого и второго порядка необходимо и достаточно чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны, а для системы третьего кроме того произведение средних коэффициентов уравения были больше призведения их крайних коэффициентов.

Критерий устойчивости Михайлова. Заменив в характеристическом уравнении замкнутой системы комплексную переменную мнимой переменной получим функцию минимого переменного в которой может принимать любые значения от +∞ до - ∞. Корни характеристического уравнения изобразятся в виде течек рр.... При этом все вещественные отрицательные корни будут располагаться слева от мнимой оси. Наоборот все вещественные положительные корни находятся на действительной положительной оси а все комплексные корни имеющие положительную вещественную часть - справа от мнимой оси. Мнимые корни располагаются на мнимой оси. Из этого следует что для обеспечения устойчивости линейной системы необходимо и достаточно чтобы все корни характеристического уравения на плоскости комплексного переменного располагались слева от мнимой оси. Функция на комплексной плоскости изображается вектором начало которого расположено в точке О а конец определяется координатами. С увеличением модуль и фаза вектора изменяется и конец его описывает кривую называемую годографом Михайлова. Линейная система n го порядка устойчива если при изменении w от 0 до ∞ годограф Михайлова последовательно обходит n квадратов комплексной плоскости против часовой стрелки начинаясь в точке (a,j) на положительной вещественной полуоси и нигде не проходя через начало координат. В противном случае система будет неустойчива.

Критерий устойчивости Найквиста. Замкнутая линейная система устойчива если приращение фазы функции при изменении ω от 0 до ∞ равно mπ где m число корней характеристического уравнения разомнутой системы лежащих на комплексной плоскости справа от мнимой оси.

Логарифмический критерий устойчивости Если система устойчива в разомкнутом и замкнутом состояниях то КЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1,j0) т.е.W <1 при φ = - π. Так как lg1=0, то необходимым и достаточным условием устойчивости такой системы является пересечение ЛАЧХ оси абсцисс раньше чем ЛФЧХ пересечет линию соответствующую ее фазовому сдвигу - π.

Дата добавления: 2014-12-10