Ротор векторного поля

Упражнения

52. Интеграл , взятый по некоторому замкнутому контуру, преобразовать с помощью формулы Стокса в интеграл по поверхности, "натянутой" на этот контур.

53. Вычислить интеграл , где контур L – окружность x²+y²= R², z= 0, используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу . Интегрирование по окружности в плоскости xOy ведется в положительном направлении.

С понятием циркуляции тесно связано понятие ротора, или вихря. Циркуляция характеризует завихренность векторного поля вдоль всего контура. Локальной характеристикой поля, связанной с завихренностью, является ротор.

Рассмотрим сначала плоское векторное поле и какой-то контур L, окружающий выбранную точку М₀. Величину площади области, заключенной внутри L, обозначим через S. Тогда отношение

(1)

дает среднюю плотность циркуляции вектора на площадке S. Плотность циркуляции в точке М₀ характеризуется пределом выражения (1) при условии стягивания контура L в точку М₀, тогда площадь S, охватываемая контуром L, стремится к нулю, таким образом, если предел существует, то он дает величину завихренности поля в точке М₀.

Если векторное поле - пространственное, то можно говорить о завихренности поля в каком-либо направлении .

Ротором векторного поля в точке М₀ обозначаемым называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской области G, перпендикулярной этому направлению, к величине площади S этой области, когда размеры площади стремятся к нулю, а сама область стягивается в точку М₀, т.е.

,

где L – контур, лежащий в плоскости, перпендикулярной вектору , S - площадь области, ограниченной этим контуром.

Если задано векторное поле , где функции P, Q и R – непре

рывно дифференцируемые в соответствующей области, то

Дата добавления: 2014-12-10