Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

⇐ Предыдущая 11 12 131415 16 17 18 Следующая ⇒

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y'=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y) – заданные функции.

Для тех y, для которых , уравнение y'=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y'=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим G(y) = F(x) + C – общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

1. Производную функции переписать через её дифференциалы

2. Разделить переменные.

3. Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.

4. Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Пример типового расчета:

Найти частное решение уравнения

2yy' = 1- 3x², если y₀ = 3 при x₀ = 1

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x₀ = 1, y₀ = 3 найдем С 9=1-1+ C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Практика: студенты самостоятельно выполняют расчеты по дидактическим карточкам с заданиями (4 варианта).

Приложение: дидактические карточки с заданиями в 4 варианта.

Контрольные вопросы:

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Что называется общим и частным решением дифференциального уравнения?

3. Какие вы знаете дифференциальные уравнения первого порядка?

4. Назовите алгоритм решения дифференциальных уравнений первого порядка для нахождения частного решения?

Вариант – 1.