Силы, действующие в магнитном поле

Взаимодействие прямых проводников.

Вообще говоря, силу действия на проводник с током, помещенный в магнитное пол, можно вычислить пользуясь законом Ампера, который был сформулирован на прошлой лекции. Однако для упрощения математических выкладок предположим, что величина поля определена заранее. Пусть это поле однородное, т.е. его значение одинаково во всех точках рассматриваемого пространства. Тогда сила, действующая на элемент тока, записывается в таком виде:

dF = IBd l sina,

где a - угол между направлением В и элементом тока Id l.

Взаимодействие двух прямых Проводников.

Для конечного проводника длины L имеем: F = IBLsina. Наиболее простой вид эта формула приобретает для случая взаимодействия двух прямых про­водников.Для простоты будем считать их бес­конечными так, что поле, создаваемое про-вод­ником, по которому проходит ток I1, во всех точках другого проводника с током I2 (см. рис.24), имеет одно и то же значение, если про­водники параллельны друг другу. В этом случае сила, действующая на отрезок проводни-

ка длиной L с током I₂, равна F₁₂ =BL I₂, или, подставляя в эту формулу явное выражение для В, имеем:

(◊)

Направление силы взаимодействия для параллельных и антипараллельных взаимодейст­вующих токов показано на рисунке. Из рисунка видно, что параллельные токи притягива­ются, а токи с противоположным направлением отталкиваются друг от друга.

Формулу (◊) используют для определения единицы измерения силы тока – ампера. Пола-гая I₁=I₂ = 1A, R = 1M и L = 1M, можно вычислить, что сила взаимодействия равна 2´10^-7Н, т.е. за единицу силы тока принимают такой ток, который, протекая по параллельным про-водам, отстоящим друг от друга на расстояние 1м, вызывает силу 2´10^-7Н, действующую на единицу длины проводника.

Действие магнитного поля на контур с током.

Пусть прямоугольная рамка, со сторонами a и b, обтекаемая током I, помещена в од­нородное магнитное поле индукции В, как показано на рис.25. Модули сил, действующих

Действие магнитного поля на рамку с током.

на соответствующие стороны рамки равны: F1=F3 = IaB sin 90^0 = IaB, F2 = F4 IbBsin(90-a) =IbBcosa. На­правления всех сил указаны на рисунке, откуда сле­дует, что сумма всех сил, действу-ющих на рамку, равна нулю. Следовательно, центр масс должен ос­таваться в покое, если первоначально он был непод­вижен. Однако суммарный момент сил оказывается отличным от нуля. Напомним, что момент силы М определяется век-торным произведением радиуса-вектора, проведен-ного от оси в точку приложения силы, на саму силу. Вычислим моменты всех сил относительно оси z,

проходящей через центр рамки. Из рисунка видно, что моменты сил F₂ и F₄ равны нулю. Момент силы F₁ M₁ = F₁sina b/2 = IB sina b/2 = (1/2)ISBsina, где ab = S – площадь рамки. Момент силы F₃ также равен М₁, так что суммарный момент сил равен:

,

где введенная величина р_м =IS носит название магнитного момента рамки. Если магнит­ному моменту приписать векторные свойства, определяя его направление по правилу пра­вого винта, движение оси которого определяется, в свою очередь, вращением винта в на­правлении обтекания рамки током, то общий момент сил, действующих на рамку, равен

.

Этот момент стремится повернуть рамку к положению устойчивого равновесия, при кото­ром магнитный момент рамки направлен вдоль направления поля.

Сила Лоренца.

Опыт показывает, что сила, действующая на проводник с током, исчезает при вы­ключении тока, т.е. действие силы обусловлено движением электрических зарядов. Обра­щаясь к выражению силы тока I через движение отдельных зарядов, запишем:

.

Тогда сила, действующая на проводник с током в однородном магнитном поле В может быть записана как

.

Из этого равенства можно определить силу, действующую на отдельный заряд q₀. Оцени- вая количество зарядов в проводнике N = nSL, нетрудно найти, что сила, известная в физике

Действие силы Лоренца на движущийся заряд.

как сила Лоренца, равна FЛ =q0uBsina. Учитывая, что скорость направленного движения заря­дов в проводнике – u –вектор, и что направление силы определяется по правилу правого винта, можно опре­делить силу Лоренца как . Сила Лоренца максимальна, когда скорость отдельного заряда перпендикулярна вектору В, и равна нулю, ко­гда заряд движется параллельно силовым линиям маг­нитного поля. В первом случае заряд вращается по ок­ружности, радиус которой определяется законом Нью­тона:

; .

В общем случае, когда скорость заряда составляет с направлением поля произволь­ный угол a, траектория движения представляет собой винтовую линию, ось которой совпа­дает с направлением поля. Движение заряда можно рассматривать в этом случае как сложе­ние двух движений: вращения вокруг направления поля, обусловленного составляющей вектора скорости, нормальной к направлению В, и поступательного движения со скоро­стью, равной другой составляющей, параллельной полю.

Это свойство заряженных частиц вращаться в поперечном магнитном поле использу­ется для получения элементарных частиц с большими энергиями. Устройства, предназна­ченные для этого, называются циклотронами. Наиболее известны модификации этих уст­ройств, которые называются синхрофазотронами. Усложнение конструкции (и названия) связано с тем, что в процессе ускорения частицы приобретают скорость, близкую к скоро­сти света, вследствие чего их масса увеличивается, и они выпадают из условия синхро­низма. Поэтому приходится увеличивать поле или уменьшать частоту напряжения.

Электромагнитная индукция.

Из школьного курса физики известно, что при изменении магнитного поля, пронизы­вающего некую поверхность, ограниченную замкнутым проводящим контуром, в этом кон­туре возникает ЭДС, равная с обратным знаком скорости изменения магнитного потока. Это явление было открыто в 1831 году известным английским ученым М. Фарадеем, и ус­тановленный им закон носит его имя. Определяя величину магнитного потока Ф как

Ф =BS cosa = ,

где a - угол между направлением В и нормали к площади контура, закон Фарадея можно записать в виде:

ε = - ;

откуда видно, что возникновение индукционного тока возможно при изменении либо вели­чины В, либо при изменении площади контура, либо при изменении ориентации контура (вращении) относительно направления магнитного поля. Магнитный поток принято изме­рять в Веберах. 1 Вебер = 1Тесла ´ м².

Знак минус, стоящий перед производной магнитного потока отражает правило Ленца: индукционный ток направлен так, чтобы своим действием воспрепятствовать при­чине, его вызвавшей.

Проявлением индукционных токов являются токи Фуко, возникающие в массивных проводниках, помещенных в изменяющееся магнитное поле (например, в сердечниках трансформаторов). Для борьбы с этими токами сердечники набираются из очень тонких листов металла, разделенных прослойкой непроводящего лака.

Самоиндукция.

Важным частным случаем электромагнитной индукции является самоиндукция, т.е. возникновение ЭДС индукции в самом проводнике, порождающим изменяющееся магнит­ное поле. В строгой теории электромагнетизма показано, что величина магнитного потока, окружающего проводник с током, пропорциональна силе этого тока Ф = L I, где коэффици­ент пропорциональности L носит название коэффициента самоиндукции или индуктив­ности.

Качественные соображения о пропорциональности между Ф и I вытекают из закона Био-Савара-Лапласа, где установлено, что В~ I. Значения L определяются геометрическими свойствами проводника. Единицей измерения L в системе СИ служит Генри.

1Генри =1Вебер/Ампер.

Учитывая взаимосвязь Ф и L, можно записать

E_сам = - .

Если проводник не изменяет своей формы с течением времени, то dL/dt = 0, и

E_сам = - .

Для одного витка длинного соленоида Ф =ВS= m₀ nIS, и, если полное число витков соле-ноида равно N= nl_c,, то общий поток через весь соленоид Ф₀ = Ф N = m₀ n²l_c IS, откуда

L = m₀ n²l_cS.

Энергия магнитного поля.

Пусть имеется электрическая цепь, состоящая из источника постоянного тока, сопро-тивления и катушки индуктивности L. Предположим, что в некоторый момент времени ис­точник мгновенно удаляется из цепи, которая остается замкнутой. Как следствие явления самоиндукции ток в цепи не исчезнет мгновенно, т.к. его будет поддерживать возникшая ЭДС самоиндукции. В процессе убывания тока сторонние силы, ответственные за явление самоиндукции, совершат некоторую работу. За малый промежуток времени dt, когда ток и ЭДС остаются практически неизменными, сторонние силы совершат работу dA = E_самdq, где dq =Idt, или, используя выражение для ЭДС самоиндукции, dA= -Idt´L dI/dt, т.е.

dA=-LidI.

Полную работу сил можно найти, суммируя малые работы dA за весь период исчезновения тока:

.

По закону сохранения энергии эта работа может быть совершена лишь за счет энергии W, которой обладает катушка с током, поэтому

.

Эту энергию можно приписать магнитному полю катушки (соленоида). Считая соленоид достаточно длинным, можно использовать формулу, связывающую индукцию поля в соле-ноиде с током: B =m₀ nI, откуда I = B/m₀ n. Подставляя это соотношение, а также значение L для соленоида в выражение для энергии катушки, получаем:

.

Тогда плотность магнитной энергии, т.е. энергии, приходящейся на единицу объема V=l_cS,

равна

w = .

Дата добавления: 2014-12-16