Дифракция света

Метод зон Френеля.

Дифракцией называется когерентное рассеяние света на объектах, геометрические размеры которых сравнимы с длиной световой волны. Наблюдающаяся дифракционная картина является результатом интерференции вторичных источников, образующихся на по­верхности объекта. Расчет интерференционной картины можно проводить пользуясь мето­дом суперпозиции, однако применение этого метода сопряжено с известными математиче­скими трудностями. В связи мы ограничимся рассмотрения качественного подхода к реше­нию поставленной задачи, развитого Френелем. Основной идеей, определяющей сущность такого рассмотрения, является принцип Гюйгенса –Френеля, который представляет собой дополненный принцип Гюйгенса. Френель постулировал, что все элементарные вторичные источники являются когерентными. Для оценки результирующей амплитуды колебаний в точке наблюдения был разработан специальный метод, получивший название метода зон Френеля. Согласно этому методу волновой фронт (будем называть волновым фронтом по­верхность, которая соединяет все точки, колеблющиеся в одинаковой фазе) разбивается на отдельные участки, именуемые зонами. Разбиение на зоны должно удовлетворять двум ус­ловиям:

1.площади всех зон одинаковы,

2.расстояния от двух соседних зон до точки наблюдения отличаются на половину длины волны.

Первое условие означает, что амплитуды колебаний от всех зон в точке наблюдения будут одинаковыми, тогда как из второго условия следует, что колебания двух соседних зон скла­дываются в противофазе. В этом случае вместо вычисления сложных интегралов доста­точно подсчитать число зон. Если оно – четно – в точке наблюдения будет минимум осве­щенности (зоны попарно гасят друг друга), если же количество зон на участке волнового фронта, видимого из точки наблюдения, окажется нечетным – в ней будет конечная осве­щенность.

Дифракция Френеля на круглом отверстии.

Применим метод зон к анализу так называемой дифракции Френеля, когда источник света – точечный, и волновая поверхность имеет форму сферы.

К вычислению радиуса зоны.

В качестве препятствия рассмотрим небольшое круглое отверстие в непрозрачном экране. выберем точку наблюдения О так, чтобы в отверстии укладывалось бы целое число зон Френеля. Пусть волновой фронт от точечного источника S, дошедший до экрана, имеет радиус SB = а (см. рис.). Расстояние от точки наблюдения О до плоскости экрана равно МО = b+d. Мысленно разобьем волновой фронт на концентрические зоны (на рис.47 показана одна зона) так, что расстояние от n – зоны до точки наблюдения О равно b + nl/2. Из тре­угольника SBM по теореме Пифагора получим:

МВ² = SB² – SM² = . (IV)

Аналогично из DОМВ: = . (V)

Члены, содержащие множители l² и d², отброшены как малые по сравнению с a и b. При­равнивая правые части уравнений (IV) и (V), получим Выражая отсюда d и подставляя его в (IV), получим формулу для радиуса любой зоны:

.

Численные значения радиуса первой зоны можно оценить, полагая a» b ~ 1м, l» 0,5мкм. Подстановка этих значений показывает, что r₁ »0,3 мм. Поэтому при диаметре отверстия 1 - -2 мм в нем уложится 5-7 зон. Поскольку их амплитуды примерно одинаковы, результат сложения существенно зависит от числа зон. При нечетном числе зон в точке наблюдения будет максимум, а при четном – минимум освещенности.

Дифракция Фраунгофера.

Этот вид дифракции наблюдается в параллельных лучах, когда волновой фронт стано­вится плоским, а зоны Френеля принимают вид узких прямоугольных полосок.

Оптическая схема наблюдения этого вида ди­фракции представлена на рис. В роли препятствия здесь выступает узкая прямоугольная щель (узкая сторона щели лежит в плоскости рисунка). Разбиение поверхности щели на зоны Френеля осуществляется следующим образом: через край щели (точка М₀ ) проводится плоскость (М₀ Р), перпендикулярная идущим в точку наблюдения лучам, а затем прово­дятся параллельные ей плоскости, отстоящие друг от друга на полволны. Эти плоскости, пересекая плоскость щели, разбивают ее на зоны Френеля, которые представляют собой по­лосы, параллельные краям щели:

границы зон изображаются точками М ₀,М₁, М₂ …, а отрезки М ₀М₁, М₁М₂ определяют ши­рину первой, второй и т.д.зон. Из рис видно, что в расчете не учитывается разность хода от плоскости М₀Р до фокуса линзы Л, предназначенной для создания резкого изображения на экране. Это является следствием таутохронизма линзы, означающего, что лучи проходят пути от М₀Р до фокуса линзы за одинаковое время. Попутно заметим, что линза Л_К предна­значена для создания параллельного пучка лучей. Предположим, что угол j выбран таким образом, что на ширине щели укладывается целое число зон, т.е. МР = kl/2 (k = 1,2,3 …). В то же время из DМ₀РМ следует, что МР = ММ₀ sin j или MP = bsinj. Если число зон четное (k =2m), то выбранное направление соответствует минимуму освещенности (зоны по­парно гасят друг друга), а если – нечетно (k = 2m-1) – то максимуму. Таким образом, имеем:
bsinj = ml - условие минимума,

bsinj = (2ь-1)l/2 – условие максимума.

При движении точки наблюдения в направлении, перпендикулярном плоскости ри­сунка (вдоль длинной стороны щели) картина не изменяется, и на экране видны чередую­щиеся темные и светлые полосы. Однако интенсивности светлых полос быстро убывают так, что практически с трудом удается наблюдать более двух таких полос с каждой сто­роны от центрального максимума.

Дифракционная решетка.

Возьмем теперь в качестве препятствия дифракционную решетку, т.е непрозрачную пла­стинку с одинаковыми параллельными и равноотстоящими друг от друга щелями. Обозна­чим, как и прежде, ширину щели b, а ширину непрозрачного участка – а. Величину d = а + b назовем периодом или постоянной решетки. Выбирая ту же волновую поверхность, что и при рассмотрении дифракции на одной щели, и применяя принцип Гюйгенса-Френеля, можно заметить, что теперь в каждой точке экрана для наблюдений собираются лучи, иду­щие от всех N щелей. Для вычисления результата сложения выделим в каждой щели одина­ковые точки(например- верхние).Две таких точки в соседних щелях при заданном угле j имеют разность фаз, равную

q = . В точке наблюдения колебания от всех щелей сложатся в одинаковых фазах, если разность фаз q равна 2pn (n =0,1,2…), т.е. q = = 2pn, откуда получается усло­вие для максимумов dsinj = nl. Можно показать, что кроме этих максимумов сущест­вуют еще другие, положения которых зависит от числа щелей, но интенсивность их крайне не значительна. Чтобы различать эти максимумы с теми, которые удовлетворяют условию dsinj = nl, принято называть их дополнительными максимумами, а максимумы, соответст­вующие условию dsinj = nl - главными. Значение числа n определяет порядок главного максимума (первый максимум, второй и т.д) Между максимумами должны располагаться минимумы освещенности, но с практической точки зрения они не представляют особого интереса и в нашем курсе не рассматриваются.

Полученные условия главных максимумов справедливы для одной длины волны света. Если же свет – белый, то для каждого из его составляющих цветов условия максиму­мов будут соответствовать различным углам j, т.е. на экране получится набор цветных по­лос. Другими словами, дифракционная решетка позволяет анализировать спектральный со­став световых лучей. Поэтому решетку можно использовать как спектральный аппарат. Все спектральные аппараты характеризуются такими величинами как дисперсионная область, угловая дисперсия и разрешающая способность.

Дисперсионная область G определяет ширину спектрального интервала отl доl+ Dl, в котором максимумы для различных волн не перекрываются друг с другом. Величина G =l/n, где n - порядок максимума.

Угловая дисперсия D определяет угловое расстояние между волнами, длина которых отличается на единицу (длины).Выражение для определения D можно получить, диффе­ренцируя условия главных максимумов: dcosj =lnd. Отсюда D определяется как

.

Под разрешающей способностью А подразумевается возможность спектрального аппа­рата различать линии, соответствующие близким значениям длин волн l и l + dl. Она определяется выражением

.

Дифракция рентгеновских лучей.

Рентгеновскими лучами называют электромагнитное излучение, длина волн которого примерно равна 10 ^–10 м.

Длина волны рентгеновских лучей много меньше световых волн, поэтому наблюдать ди­фракцию этих лучей в стандартных схемах не удается. Препятствиями, размеры которых сравнимы с длиной волны рентгеновских лучей, могут служить лишь межатомные расстоя­ния в твердых телах. Схема дифракции показана на рис.

Атомы кристалла расположены в правильном порядке, образуя плоскости, отражающие лучи. Коэффициент преломления лучей близок к единице, и лучи отражаются от различных плоскостей без заметного преломления (n_р » 1). Обозна­чая угол скольжения лучей через a, а расстояние между отдельными слоями через d, можно заметить, что разность хода между интерферирующими лучами d =AD +DC – BC. Из DADF AD = FD/sina; AF = dtga, а из DАВС ВС = 2AFcosa. С учетом того, что AD = DC, имеем:

Условие максимума будет выполняться при 2dsina = kl, где k –целое число. Полученная формула носит название формулы Вульфа – Брэггов.

Рассмотренный случай дифракции относится к конкретным межатомным плоскостям и монохроматическому излучению, что заметно упрощает анализ условий образования мак­симумов. В действительности же межатомные плоскости могут быть ориентированы произ­вольным образом, причем в роли интерферирующих лучей могут выступать лучи, отражен­ные не только от соседних плоскостей. Кроме того, следует иметь ввиду, что реальные кри­сталлические структуры имеют три измерения, каждому из которых могут соответствовать различные условия образования максимумов. Тем не менее рентгенографический метод анализа кристаллов нашел широкое применение в петрографии, рентгеноструктурном анализе и ряде других приложений.

Дата добавления: 2014-12-16