Формулы дифференцирования

2. Основные правила дифференцирования

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Применяя правила (5) и (8) и формулу (4) дифференцирования степенной функции получим

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Применим правило (7) дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей так же, как в примере 4. Тогда получим

Пример 3. Найти производную функции у =

Решение. Применим правило (10) дифференцирования частного:

Затем, так же как и выше, вычислим производные в числителе. Имеем

Текст задания:

Вариант 1

1. Найти производную функции .

2. Найти производную функции .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

4. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t =5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 2

1. Найти производную функции .

2. Найти производную функции .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

4. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t =5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 3

1. Найти производную функции .

2. Найти производную функции .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

4. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t =5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 4

1. Найти производную функции .

2. Найти производную функции .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

4. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t =5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 5

1. Найти производную функции .

2. Найти производную функции .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

4. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t =5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 6

1. Найти производную функции .

2. Найти производную функции .

3. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , .

4. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t =5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Практическая работа № 16

Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Цель работы: закрепить знания и умения студентов по освоению темы, формировать навыки прикладного использования аппарата производной.

Теоритическое обоснование:

Схема исследования функции и построение ее графика

I. Найти область определения функции.
II. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
III. Найти асимптоты.
IV. Найти точки возможного экстремума.
V. Найти критические точки.
VI. С помощью вспомогательного рисунка исследовать знак первой производных. Определить участки возрастания и убывания функции, точки экстремумов.
VII. Построить график, учитывая исследование, проведенное в п.1-6.

Дата добавления: 2014-12-16