КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Предел функции в точке
Определение: Последовательностью называется функция натурального аргумента , , ,…, ,…, ,…. Причем если , то следует за , независимо от того, больше он его или меньше. Последовательность чисел называется сходящейся к числу , если для любого положительного, сколь угодно малого числа (эпсилон) найдется такой номер , что для всех номеров будет выполняться неравенство . Пишут . Геометрический смысл предела последовательности состоит в том, что за пределами – окрестности точки находится лишь конечное число членов последовательности , а внутри этой окрестности находится бесконечное множество членов последовательности и при число будет сгустком точек, соответствующих членам последовательности. Определение: Число называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число (дельта), что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполнится неравенство . Пишут . Теоремы о пределах функций: если существует и , то 1) ; 2) ; 3) ; 4) при . При вычислении пределов используются два замечательных предела: 1) (первый замечательный предел); 2) (второй замечательный предел). Определение: Функция называется бесконечно малой в точке , если . Определение: Функция называется бесконечно большой в точке , если . Теорема: Если – бесконечно большая функция, то – бесконечно малая функция. Если – бесконечно малая и – бесконечно малая функция в точке и , то и эквивалентны. Пишут ~ . v Найти пределы функций, не используя правило Лопиталя. а)
б) /выносим в числителе и знаменателе старшие степени переменной, затем производим возможные сокращения/ т.к. при значения дробей стремится к 0.
в) = /умножим числитель и знаменатель на выражение ; знаменатель разложим на множители/ г) д) ; е) = . Определение: Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в точке , равный значению функции в точке , т. е. . Иными словами, функция непрерывна в точке , если выполняются равенства: (*) Односторонние пределы функции в точке равны значению функции в точке . Определение: Точка называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные, но неравные односторонние пределы функции в точке . Разность между правым и левым пределами называется скачком. Определение: Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен или не существует. Определение: Точка называется точкой разрыва устранимого, если существует предел функции в этой точке, не равный значению функции в точке .
v Исследовать функцию на непрерывность и построить график: . Решение: Функция является непрерывной на каждом из промежутков, поэтому подозрительными на разрыв являются точки и . Исследуем каждую точку. 1) . Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции при
,
значение функции в точке равно: . Следовательно, в точке функция является непрерывной, так как . 2) . Так как односторонние пределы конечны, но не равны, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок равен .
Производная функции, её приложение Определение: Пусть функция задана на некотором множестве . Зафиксируем значение аргумента и придадим ему приращение , не выводящее значение аргумента за пределы множества , т. е. . Тогда соответствующее приращение получит и сама функция, которое равно разности нового и старого значений функции: . Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , то он называется производной функции в точке . Пишут , или . (6)
Если существует во всех точках множества , то является функцией от . Таблица производных основных элементарных функций Если является дифференцируемой, то выполняются равенства: 1. где 2. где 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. . Основные правила дифференцирования: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Если и , т. е. , то , где и и φ – дифференцируемы. 8. Если для функции существует обратная дифференцируемая функция , то . v Найти производные функций а) ; б) ; в) .
Решение: 1) . Преобразуем функцию б)
в) Определение: Производной второго порядка функции называется производная от первой производной, т. е. . Обозначают . Определение: Производной n -го порядка функции называют производную от производной (n – 1)-го порядка данной функции. Обозначают .
Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 1277; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |