Методы исследования функций и поведения их графиков

Признаки возрастания функции (убывания функции)

• Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на некотором отрезке , то производная на этом отрезке неотрицательна (неположительна), т. е. .

• Если непрерывная функция дифференцируема и имеет положительную (отрицательную) производную на отрезке , то она возрастает (убывает) на этом отрезке.

Определение: Точки, в которых производная первого порядка обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими.

Теорема (необходимый признак локального экстремума): Если функция имеет в точке экстремум, то либо не существует.

Теорема (первый достаточный признак локального экстремума): Пусть является непрерывной на , причем – критическая точка, функция является дифференцируемой во всех точках (кроме, может быть, самой ), тогда: если для всех и для всех , то в точке функция имеет максимум. Если для всех и для всех , то в точке функция имеет минимум.

Теорема (второй достаточный признак экстремума): Пусть функция дважды дифференцируема и – критическая точка, тогда если , то – точка минимума; если , то – точка максимума функции.

Теорема (достаточное условие выпуклости графика функции): Если во всех точках интервала производная второго порядка функции отрицательна (положительна), т. е. (), то кривая выпукла вверх (вниз) на этом интервале.

Теорема (достаточный признак точки перегиба): Если в точке или не существует и при переходе через эту точку производная меняет знак, то является точкой перегиба.

Определение: Прямая называется асимптотой данной кривой , если расстояние от точки М кривой до прямой, при удалении точки М в бесконечность, стремится к нулю.

Если , то – вертикальная асимптота.

Если существуют пределы: и , то прямая – наклонная асимптота графика функции. Если k = 0, y = b – горизонтальная асимптота.

Примерная схема исследования функций

Для исследования функции и построения графика надо:

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика с осями координат, вертикальные асимптоты.

3. Исследовать функцию на четность, периодичность.

4. Исследовать на монотонность и найти экстремумы.

5. Найти интервалы выпуклости, точки перегиба.

6. Найти асимптоты графика.

7. Построить график функции.

v Исследовать функцию и построить график.

Решение: Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме x = 2; прямая x = 2 является вертикальной асимптотой графика функции, так как .

1) Функция принимает все положительные значения, кроме y = 1, так как при .

2) ; но – точка разрыва.

Х

3) Функция экстремумов не имеет и возрастает на каждом из промежутков.

4) Промежутки выпуклости функции:

;

при и – точка перегиба.

5) Так как , то – горизонтальная асимптота графика функции, – точка перегиба.

На основании проведенного исследования можно построить график.

Х

Дата добавления: 2014-12-16