Элементы дисперсионного анализа

Задача 3.

По каждой из трех основных рабочих профессий цеха ( -порядковый номер профессии: 1-токари; 2-фрезеровщики; 3-слесари) имеются соответствующие данные о числе рабочих профессии ( чел.), о средней заработной плате (, руб.), а также о внутригрупповой дисперсии заработной платы (. руб²). Статистические данные за месяц приведены в таблице.

Требуется:

1) определить общую дисперсию заработной платы рабочих цеха;

2) оценить однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной заработной платы;

3) определить, на сколько процентов дисперсия в размере заработной платы обусловлена различиями в профессии рабочих и влиянием других причин.

Предварительные сведения.

Для характеристики величины вариации (колеблемости) признака статистической совокупности используются абсолютные и относительные показатели. В качестве абсолютных показателей чаще всего рассматривают дисперсию и среднеквадратическое отклонение (СКО)

,

где - наблюдённые значения признака (варианты), – общее число вариант (объем выборки). Суммирование в этой формуле производится по всем вариантам; – среднее значение признака, – среднее значение квадрата признака

, .

Изучая только общую дисперсию интересующего исследователя признака, нельзя оценить влияние отдельных факторов, как качественных, так и количественных, на величину признака. Это можно сделать при помощи метода группировки, когда варианты подразделяются на непересекающиеся группы по признаку-фактору. При этом, кроме общей средней по всей выборке, рассматриваются средние по отдельным группам и следующие показатели дисперсии:

1. общая дисперсия

2. межгрупповая дисперсия ,

3. внутригрупповые дисперсии ,

4. средняя внутригрупповая дисперсия .

Кратко охарактеризуем эти дисперсии.

1. Общая дисперсия учитывает влияние всех факторов, от которых зависит величина изучаемого признака

, ,

где - общая средняя по всей выборке.

2. Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки. Эта дисперсия определяется по формуле:

,

здесь – внутригрупповые средние, – число вариант в -ой группе; – число групп, суммирование производится по различным группам.

3. Внутригрупповая дисперсия

отражает рассеяние значений признака, относящихся к одному уровню группировочного фактора, поэтому она определяется не этим фактором, а другими причинами.

4. Средняя внутригрупповая дисперсия , так же как и , характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от условия, положенного в основу группировки. Эта дисперсия определяется по формуле

.

Можно доказать, что имеет место правило сложения дисперсий

.

Отношение показывает, какую долю общей дисперсии составляет дисперсия, возникающая под влиянием группировочного фактора, т.е. позволяет оценить влияние этого фактора на величину изучаемого признака .

При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или при сравнении колеблемости одного и того же признака в разных совокупностях используются относительные показатели вариации. Наиболее распространенным среди относительных показателей вариации является коэффициент вариации

%.

Его применяют также и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

Решение задачи 3.

1. Найдем среднюю из внутригрупповых дисперсий

(руб²)

Определим среднюю зарплату по цеху для основных рабочих профессий (общую среднюю)

(руб.)

Находим межгрупповую дисперсию

(руб²).

Используя правило сложения дисперсий, найдем общую дисперсию заработной платы:

(руб²).

2. Оценим однородность совокупности рабочих цеха по уровню месячной заработной платы с помощью коэффициента вариации

% %.

Так как %, то совокупность считается однородной.

3. Общая дисперсия заработной платы рабочих цеха обусловлена различиями в профессии на

% %.

Эта же дисперсия обусловлена влиянием других причин на

% %.

Дата добавления: 2014-12-16