Основы теории автоматического управления

Выполнение заданий этого раздела требует знаний основ теории автоматического управления, в особенности динамики линейных систем автоматического управления, анализа их устойчивости, знаний правил преобразования структурных схем и методов получения дифференциальных уравнений и передаточных функций элементов и систем автоматического управления в целом. Изучая этот материал, следует обратить внимание не только на математические утвержде­ния, но и на особенности их конкретного применения.

Варианты 1.01...1.10. Составить дифференциальное уравнение, найти пе­редаточную функцию RC-цепи (рис.1.1) и построить амплитудную и фазовую частотные характеристики (АЧХ, ФЧХ, АФЧХ). Значение параметров указаны в табл.1.1.

Литература: /1/, с.52-62.

Рис. 1.1. Схемы RC-цепей

Таблица 1.1

Параметры	Вариант
	1.01	1.02	1.03	1.04	1.05	1.06	1.07	1.08	1.09	1.10
Схема, рис.	1.1а	1.1б	1.1в	1.1а	1.1в	1.1б	1.1б	1.1в	1.1а	1.1б
R, кОм	0.11	0.21	0.36	0.43	0.56	0.63	1.0	1.1	1.2	1.3
C, мкФ	2.0	4.0	10.0	15.0	20.0	20.0	15.0	10.0	4.0	2.0

Краткие сведения из теории

Частотные характеристики получают при рассмотрении вынужденных дви­же­ний звена (системы), вызванных гармоническим воздействием на входе x(t)=Aвхsin w t, где Aвх - амплитуда; w =2 p /Tк -угловая частота входных колебаний с периодом Tк. Если Aвх=1, то входное воздействие - единичное гармоническое. По окончании переходного процесса на выходе линейной системы устанавливаются гармонические колебания y(t)=Aвыхsin( w t+ f ) той же частоты, но с другой амплитудой и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний на угол f ( w ). Изменение амплитуды и фазовый сдвиг являются функциями частоты и выра­жают динамические свойства элемента (системы). Если изменять частоту w от 0 до ¥ и определять установившиеся амплитуду и фазу входных колебаний для разных частот, можно получить зависимость от частоты соотношения амплитуд A( w ) = Aвых( w )/Aвх( w ) и сдвига фазы f ( w ) = f вых( w )- f вх( w ). A( w ) называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), f ( w ) - фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

Аналитически АЧХ и ФЧХ получают следующим образом. Если в передаточную функцию вместо p подставить j w, получим частотную передаточную функцию W(j w ). Ее можно представить в виде

W(j w ) = U( w ) + jV( w )=A( w )ej f ( w ),

где U( w ) и V( w ) соответственно действительная и мнимая части, причем

A2( w ) = U2( w ) + V2( w )

f ( w )=arctg(V( w )/U( w )).

Рис.1.2. Амплитудно-фазовая частотная характеристика

На комплексной плоскости (см.рис.1.2) частотную передаточную функцию определяет годограф вектора ОА, длина (модуль) которого равен A( w ), а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью) f ( w ). Кривую, которую описывает конец вектора при изменении частоты от 0 до ¥, называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ). Таким образом, АФЧХ - это совмещенная АЧХ и ФЧХ.

Пример 1.1. Вывести дифференциальное уравнение, построить АФЧХ, АЧХ и ФЧХ RC-цепи (см.рис.1.1,а) при условии, что R=5.1 кОм, C=2.0 мкФ.

Решение. На основании второго закона Кирхгофа

Uвх=UR+UC, (1.1)

где UR, UC - падение напряжения на резисторе и емкости соответственно, причем UC = Uвых.

В соответствии с законами электротехники . Сделаем подстановки в уравнение (1.1) и преобразуем его:

или

, (1.2)

где T=RC - постоянная времени.

По условию R =5.1 кОм; C =2.0 мкФ. Тогда T =5.1·103·2·[email protected]с. Записы­ваем (1.2) в операторной форме:

Uвх(p)=(Tp+1) Uвых(p).

Откуда передаточная функция

Частотная передаточная функция

W(j w )=1/(Tj w +1).

Выделим действительную и мнимую части:

U( w )=1/(T2 w2 +1); (1.3)

V( w )=-T w /(T2 w2 +1); (1.4)

; (1.5)

f ( w )=arctg =-arctgT w. (1.6)

Подставляя значения w в диапазоне от 0 до ¥ в выражения (1.3)...(1.6), рассчитываем U( w ), V( w ), A( w ) и f ( w ) и результаты заносим в табл.3.1. АЧХ, ФЧХ и АФЧХ приведены на рис.3.2.

Характеристики удобно построить, отложив частоту в логарифмическом масштабе.

Таблица 1.2

w,								¥
lg w		1.3	1.7	2.0	2.3	2.7		¥
U( w )	0,99	0.96	0.8	0.5	0.2	0.04	0.01
V( w )	-0,01	-0.19	-0.4	-0.5	-0.4	-0.19	-0.1
A( w )	0,99	0.98	0.89	0.71	0.45	0.194	0.1
f ( w ), град.	-0,5	-11	-27	-45	-64	-78	-84	-90

Рис.1.3. Частотные характеристики RC-цепи:

а) АЧХ, б) ФЧХ, в) АФЧХ

Варианты 1.11...1.20. Найти передаточную функцию соединения звеньев, построить амплитудно-фазовую частотную характеристику. Структурные схемы для различных вариантов приведены на рис.1.4, 1.5, 1.6, а передаточные функции отдельных звеньев - в табл. 1.3.

Литература: /1/, с. 70-76.

Рис.1.4. Структурная схема к вариантам 1.11...1.14

Рис.1.5. Структурная схема к вариантам 1.15...1.18

Рис.1.6. Структурная схема к вариантам 1.19...1.20

Таблица 1.3

Вари-	Передаточная функция	Структурная
ант	W1(p)	W2(p)	W3(p)	W4(p)	схема
1.11	3/(0.2p +1)	2/p	0.5	-	рис.1.4
1.12	1/(0.1p+1)	3/p	1.2	-	рис.1.4
1.13	3/(0.2p+1)	1/p	3.2	-	рис.1.4
1.14	1/(0.3p+1)	2/p	0.5	-	рис.1.4
1.15	3/(0.2p+1)	5/p	0.2	-	рис.1.5
1.16	1/p	0.5	0.5p	-	рис.1.5
1.17	0.2/p	0.5(0.2p+1)	1.0	-	рис.1.5
1.18	1/(p+1)	0.5/p	2.5	-	рис.1.5
1.19	4/p	0.2/p	0.1		рис.1.6
1.20	1/p	3/p		0.5	рис.1.6

Краткие сведения из теории

При решении вариантов 1.11...1.20 задания 1 следует, исходя из заданной структуры и передаточных функций отдельных звеньев, определить передаточную функцию их соединения. Для этого сначала следует выполнить преобразования структурной схемы, затем получить частотные передаточные функции и далее действовать так, как в предыдущем примере. Предварительно следует изучить раздел ТАУ "Соединение звеньев и преобразование структурных схем".

Пример 1.2. Построить АФЧХ соединения звеньев, приведенного на рис.1.4. W1(p) = 1/(0.3p+1);W2(p) = 5/p; W3(p) = 2.

Решение. Выполним преобразование структурной схемы. Звено 3 включено со звеном 2 встречно-параллельно (звено 3 является звеном обратной связи). Для случая отрицательной обратной связи имеем:

Дата добавления: 2014-12-16