Задачи для самостоятельной работы. Для выполнения самостоятельной работы необходимо повторить материал:

Для выполнения самостоятельной работы необходимо повторить материал:

Приложения квадратичных форм (часть I, 5.3), преобразование координат (часть II, 4.1-4.2)

1. Найти тип и каноническое уравнение поверхности второго порядка.

x²+2xy+6xz+5y²+2yz+z²=6

Решение. Выписываем матрицу А левой части уравнения и находим ее характеристические числа:

, =- ³+7 ²-36=-( +2)( -3)( -6)=0

Следовательно, 1=-2, 2=3, 3=6, и поэтому канонический вид данного уравнения следующий:

-2у₁² +3у₂² +6у₃²=6 Ю

Это уравнение определяет однополосный гиперболоид с полуосями а=1, b= , с= .

2. определить тип и найти каноническое уравнение поверхностей второго порядка:

2.1. 2х2-2ху-4хz+5y2+2yz+2z2=3

2.2. 7х2-4ху+6у2-4уz+5z2=18

2.3. x2+4xy-8xy-2y2-4yz+z2=6

Ответы к 7.6

2.1. Эллиптический цилиндр.

2.2. Эллипсоид.

2.3. Двуполостный гиперболоид.

Контрольное задание

1. Упростить выражение: x = 2( - 2 ) + 6

2. Заданы вершины треугольника А(-1, -2, 4), B(-4, -1, 2) и C(-5, 4, -6); BD- его высота. Найти координаты точки D (использовать скалярное произведение двух векторов).

3. Сила F = 2 i - 4 j +5 k приложена к точке А (4, -2, 3). Определить момент этой силы относительно точки О(3, 2, -1).

4. Даны три силы: (2, -1, -3), (3, 2, -1) и (-4, 1, 3), приложенные к точке А(-1, 4, 2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующих этих сил относительно точки О(2, 3, -1).

5. Заданы прямая l: x - 1/2 = y/1 = z + 1/0 и точка М(0, 1, 2).

1.написать уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой l.

2.написать уравнение плоскости, проходящей через прямую l и точку М.

6. Определить, как расположена прямая относительно эллипса: пересекает, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы уравнениями:

2 x - y - 3 = 0, x²/16 + y²/9 = 1

7. Написать уравнение гиперболы, если известно, что ее фокусами являются точки
F1(-3, -4) и F2(3, 4), а расстояние между директрисами равно 3.6.

8. Написать уравнение параболы, если известны фокус F(4, 3) и директриса d: y + 1 = 0.

9. Записать уравнение кривой x² + y² =ax в полярной системе координат.

10. Определить, какие геометрические образцы определяются заданными уравнениями:

а) z + 5 = 0

б) (x - 2)² + y² + (z + 1)² = 16

в) x² + 2y² + 2z² + 7 = 0

г) x² - 4z² = 0

Контрольные вопросы

1. Дайте определение коллинеарности и компланарности двух векторов.

2. Операции над векторами, заданными в координатной форме. Найдите координаты суммы векторов: (1, 2, -3), (0, -2, 5), (4, 0, -2)

3. Дайте определение скалярного произведения. Укажите физический смысл скалярного произведения двух векторов.

4. Основные свойства скалярного произведения. Распространяется ли скалярное произведение на три и больше число векторов?

5. Запишите скалярное произведение в координатной форме.

6. Найдите углы, образуемые вектором (4, 0, -3) с осями координат, т.е. с векторами (1,,0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).

7. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.

8. Дайте определение векторного произведения. Основные свойства. Векторное произведение в координатной форме.

9*. Доказать, что [ - , + ] =2 [ , ] и выяснить геометрический смысл этого тождества.

10*. Вектор [ , [ , ]] называется двойным вектором произведением заданных векторов. Доказать, что справедливо равенство [ , [ , ]] = (, ) - (, ).

11.* Доказать основное алгебраическое свойство смешанного произведения: циклическая перестановка векторов не меняет его величины, т.е.

[ , ] = [ , ] = [ , ]

[ , ] = , , . Что означает эта запись?

12. Виды задания прямой на плоскости.

13. Прямая l задана точкой M0 (x0, y0) и нормальным вектором (A, B).

1. написать уравнение прямой, привести его к общему виду.

2. привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.

14. Прямая l задана точкой M0 (x0, y0) и направляющим вектором (m, n). Написать уравнение прямой, привести к общему виду..

15. Прямая l задана двумя своими точками M1 (x1, y1) и M2 (x2, y2). Написать уравнение прямой.

16. Заданы прямая l и точка M. Требуется:

1. вычислить расстояние от точки M до прямой.

2. написать уравнение прямой l1, проходящей через точку М перпендикулярно прямой l.

3. написать уравнение прямой l1, проходящей через точку М параллельно заданной прямой l.

17. Виды задания прямой в пространстве.

18. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через точки M0(x0, y0, z0) и
M1(x1, y1, z1) параллельно вектору (x, y, z).

19. Прямая l задана общим уравнениями

Написать каноническое уравнение этой прямой.

20. Заданы плоскость Р и точка М0. Написать уравнение плоскости Р1, проходящей через точку М0, параллельно плоскости Р. (P: Ax + By + Cz + D= 0; M0 (x0, y0, z0)).

21. Доказать что прямые

l1: и l2: (x + 7)/3 = (y - 5)/-1 = (z - 9)/4

параллельны.

22. Написать уравнение гиперболы с полуосями a и b и центром в точке С(x0, y0), если известно, что ее действительная и мнимая оси параллельны осям Ox и Oy соответственно.

23. Из фокуса параболы y²=12x под острым углом a к оси OX направлен луч света, причем tg a = 3/4. Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.

24. Вывести уравнение прямой в полярной системе координат, если:

a) прямая проходит через полюс;

б) прямая не проходить через полюс.

25. Показать, что параметрические уравнения x = a cos t y = a sin t t Î [0.2p], определяют окружность x² + a² = a².

26. Основные типы поверхности второго порядка.

27. Приведение поверхностей второго порядка к каноническому виду.

Дата добавления: 2014-11-29