Интерференция и дифракция 1 страница

Дифракция света. При внесении тела в заданное электромагнитное поле заряженные частицы начинают совершать вынужденные колебания, излучение от которых вносит искажения в исходное распределение света. В случае тел, размеры которых велики по сравнению с длиной волны, эти процессы хорошо описываются на языке геометрической оптики (как отражение, преломленое и поглощение света). В противном случае принято говорить о явлении дифракции. Строгое (в рамках волновой теории света) решение задачи о дифракции существует лишь для частного случая круглого однородного тела в поле плоской монохроматтической волны (теория Ми) и дается весьма громозкими формулами. Сравнительно простое приближенное решение получается в случае бесконечной поглощающей поверхности (экран) с отверстиями заданной формы и с заданным пропусканием света для точек, достаточно удаленных от них (дифракция Френеля). Метод решения последней задачи был “угадан” Гюйгенсом, уточнен Френелем и лишь впоследствии был строго выведен Кирхгофом на основе волновой теории и уравнений Максвелла: электромагнитное поле вдали от экрана может рассчитываться как суперпозиция сферических волн, испускаемых каждой его открытой точкой.

В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля плоский волновой фронт волны, прошедший через большое отверстие, остается плоским вдали от его краев и изгибается у границы (рис. 18_1). Это означает, что световые лучи (множество нормалей к фронту) у границ отверстия изгибаются (дифрагируют). При уменьшении размеров отверстия роль дифракции возрастает. Отверстия, размеры которого сравнимы с длиной волны, превращает плоскую волну в сферическую. При прохождении света через такие отверстия приближение геометрической оптики становится неприменимым, основанные на ее принципах оптические приборы теряют свою работоспособность. Из-за явления дифракции принципиально невозможно получить оптическое изображение объекта или его деталей, размеры которых не превосходят длины волны излучения.

Теория Кирхгофа. В основе теории дифракции Френеля лежит математическое тождество, позволяющее связать значения любой являющейся решением уравнения Д’Аламбера функции E(r) в произвольной точке внутри замкнутой области с ее значениями на поверхности, ограничивающей эту область (интеграл Кирхгофа):

(1) .

Правдоподбное (но не совсем точное) предположение о том, что поле электромагнитной волны за непрозрачным экраном равно нулю, а искажения, вносимые переизлученным полем на открытых отверстиях малы позволяют получить для поля во всех точках за экраном выражение, согласующееся с принципом Гюйгенса-Френеля. На рис 18_2 приведена фотография распределения интенсивности света, дифрагировавшего на небольшом отверстии прямоугольной формы, и результат расчетов интенсивности по формуле (1).

Интерференция. В предельном случае дифракции на экране с бесконечно-малыми отверстиями (математически описываемыми при помощи дельта-функций) говорят об интерференции, наблюдаемой методом деления волнового фронта. Христоматийным примером подобного рода экспериментов является опыт Юнга (рис. 18_3). В зависимости от разности хода вторичные сферические волны, возникающие на отверстиях экрана 1 и 2 при дифракции первичной сферической волны от точечного монохроматического источника S, в точке X происходит сложение или вычитание электромагнитных колебаний. В результате возникает интерференционная картинка в виде чередующихся светлых и темных полос. В 19 веке считалось, что опыты по интерференции являются неопровержимым свидетельством волновой природы света (при прохождении пучка классических частиц через два отверстия в экране интерференционной картины, очевидно, возникать не может).

Другим примером сложения колебаний является интерференция в тонких пленках (метод деления волнового фронта), при которой складываются электромагнитные волны, отразившиеся от двух поверхностей (рис. 18_4). В зависимости от соотношения между толщиной пленки и длиной волны излучения наблюдается усиление или ослабление цвета. При освещении белым светом (смесь с различными длинами волн) возникает зависящая от толщины цветная окраска пленки (например, радужные разводы на пятне нефти в воде). Описанный способ окраски используется в природе: пестрая расцветка крыльев бабочек обусловлена не наличием красящего пигмента, а интерференцией света в тонких прозрачных чашуйках крыльев. В технике интерференционные покрытия используются для создания зеркал с высоким коэффициентом отражения (“диэлектрические зеркала”) и для просветления оптики (гашения волн, отраженных от многочисленных поверхностей линз сложных объективов).

Интерфереметрические измерения. Высокая чувствительность наблюдаемой картины распределения интенсивностей к разности хода интерферирующих пучков лежит в основе целого класса сверх точных приборов, называемых интерферометрами.

На рис. 18_5 изображен интерферометр Майкельсона, использованный в решающих экспериментах по проверке постулата о постоянстве скорости света. В приборе сравниваются фазы двух волн, распространяющихся во взаимно перпендикулярных плечах интерферометра. В зависимости от разности хода наблюдается усиление или ослабление света на выходе прибора. Этот прибор может использоваться для прицезионных измерение длины: при перемещении зеркала вдоль измеряемого объекта подсчет "миганий" интерференционной картины позволяет определить длину пройденного пути с точностью до четверти длины волны источника света (около 100 нм). Другим "впечатляющим" применением интерферометра является измерение сверх-малых скоростей движения (несколько сантиметров в год): сползание ледников, дрейф материков и т.д.

Поскольку время распространения света в плечах интерферометра зависит не только от их длин, но и от показателя преломления прозрачной среды, с помощью интерференции можно производить точный анализ наличия малых химических примесей в веществе, вызывающих изменеие показателя преломления.

Голография нашла применение не только в производстве изопродукции, но и в современной науке и технике. В отличии от фотографии, на которой осуществляется запись распределения интенсивности на плоскости изображения, создаваемого на пластинке методами геометрической оптики, голограмма сохраняет информацию не только об интенсивности слагающих электромагнитное поле волн, но и их фазе. Это позволяет практически полностью восстанавливать электромагнитное поле, создаваемое голографируемым объектом и вызывать зрительное ощущение реального объемного тела. В известном смысле голограмма аналогична зеркалу, продолжающему генерировать изображение после ухода смотревшейся в него девушки).

Производство высококачественных гологамм стало возможным после создания лазеров - мощных источников монохроматического излучения, способных давать устойчивую интерференционную картину даже при больших разностях хода интерферииующих пучков. При записи голограммы (рис. 18_6) фотографируется сложная интерференционная картина, возникающая при сложении идущей непосредственно от лазера плоской монохроматической волны ("опорной волны") с рассеяной объектом "предметной волны", фронты которой могут представлять собой весьма сложные поверхности. Считывание проявленной голограммы осуществляется при помощи того же лазера (рис. 18_7). В результате дифракции опорной волны на сложном узоре, возникшем при фотографировании интерференционной картины возникает две симметричные волны, одна из которых практически идентична предметной и формирует мнимое изображение объекта. Вторая волна создает "инвертированное" изображение, которое в практических приложениях стремятся подавить.

В настоящее время широкое использование нашли толстые голограммы, со слоем фотоэмульсии, существенно превосходящим длину волны записывающего излучения. На такой голограмме регистрируется пространственная структура интерференционной картины. Такая трехмерная структура пропускает через себя только излучение с длиной волны, совпадающей с той, на которой записывалась голограмма. Т.о. для восстановления изображения толстой голограммой нет необходимости в освещении монохроматичесим источником: пластинка сама "выбирает" их белого света составляющую, на которой она создавалась.

Комбинация из трех голограмм, записанныз в красных, зеленых и синих лучах создает цветное объемной изображение объекта.

Обращение волнового фронта и динамическая голография. Проблема обащения волнового вронта (ОВФ) возникла в связи с практически важной задачей фокусировки мощного лазерного излучения на небольших и возможно движущихся объектах (передача энергии, связь, "звездные войны" и т.д.). Задача еще более усложняется в случае, когда источник излучения и мишень разделены толстым слоем нестационарной атмосферы: статистические флуктуации плотности приводят, согласно принципу Ферма, к искривлению лучей света (или, точнее, к искажению волнового фронта) и расфокусировке пучка.

Поставленная проблема могла бы быть решена в случае создания хорошо отражающего свет зеркала, поверхность которого принимала бы форму фронта падающей на него волны (ОВФ - зеркала). В этом случае мишень можно было бы облучать сравнительно слабым источником света с широкой диаграммой направленности излучения. Часть фронита отраженной от мишени и искаженной атмосферой волны может быть пропущена через оптический усилитель (слой вещества, усиливающего проходящие через него световые волны, но не изменяющего никаких их характеристик, кроме амплитуды колебаний) и направлена на ОВФ- зеркало (рис. 18_7), при отражении от которого форма волнового фронта не изменится, а направление его распространения изменится на противоположное. После еще одного усиления волна пройдет через все искажающие неоднородности атмосферы в обратном направлении (время распространения света на расстояниях порядка толщины атмосферы намного меньше характерного времени перераспределения неоднородностей) и полностью сфокусируется на мишени.

Существует несколько подходов к созданию ОВФ - зеркала: гибкая отражающая пленка, форма которой расcчитывается быстродействующим компьютером; обращение волнового фронта, возникающее вследствие нелинейного процесса вынужденного комбинационного рассеяния, голографические методы ОВФ (динамическая голография). Идея последнего подхода очевидна из соображений симметрии: при облучении тонкой голограммы считывающей волной, направленной точно навстречу использованной при записи опорной, одна из двух дифрагированных волн будет распространяться навстречу предметной, т.е. точно в направлении объекта (рис. 18_8). Проблема быстрого (по сравнению со скоростью изменения атмосферы) создания голограммы решается методами нелинейной оптики: существуют вещества, практически мгновенно становящиеся прозрачными под воздействием возникающего в максимумах интерференционной картины излучения большой интенсивности, которые и используются в качестве "фотопластинок" в динамической голографии.

ОВФ уже сейчас используется в реально действующих экспериментальных установках по управляемому лазерному термоядерному синтезу, где приходится решать задачу одновременной фокусировки разогревающего излучения нескольких сверх мощных лазеров на небольшой дейтериевой мишени. С точки зрения теории решение проблемы ОВФ представляет самостоятельный интерес, поскольку представляет собой пример восстановления упорядоченного излучения после его искажения на хаотической структуре. Иногда о процессе ОВФ говорят как об обращении во времени классически необратимого процесса или даже просто об обращении времени.

19. Волны, фотоны, кванты

Ультрафиолетовая катастрофа. В конце прошлого столетия у естествоиспытателей начало складываться впечатление, что изучение фундаментальных закономерностей, лежащих в основе научной картины мира, близко к завершению. Это мнение основывалось на несомненных успехах классического естествознания, “подправленного” релятивистской теорией. Учет последней хотя и приводил к несколько неожиданным результатам, но не затрагивал укоренившегося представления о том любая реально существующая система может быть в принципе рассчитана с любой точностью и ее развитие во времени может быть исчерпывающим образом прогнозировано. Вне всякого сомнения, представители точных наук конца 19 века были далеки от попыток рассчитать поведение кошки на основе классической механики и электродинамики, но склонялись к мысли, что трудности подобного расчета носят чисто технический характер.

На рубеже 19 и 20 веков в физике был сделан ряд открытий, в конечном итоге приведших к коренному пересмотру основных мировоззренческих принципов, лежащих в основе естествознания:

1. Открытие явления радиоактивности (превращения атомов различных элементов друг в друга) показало ошибочность представлений об атоме как о неделимом “кирпичике” вещества. Наиболее важным для последующего развития науки был не столько сам факт обнаружения нового явления (наличие сложной структуры атома и его частей не противоречило принципиальным установкам классического естествознания), сколько возникновение в результате подобных реакций “побочных продуктов” - различных частиц с высокой энергией, которые удалось использовать в качестве весьма тонкого инструмента для исследований микроструктуры вещества.

2. Опыты Резерфорда по рассеянию альфа - частиц в тонких пленках вещества (в фольге) показали, что основная масса атома, вопреки модели Томсона, не “размазана” по его объему, а сосредоточена в компактном положительно заряженном теле - ядре. Для объяснения гораздо больших по сравнению с ядром размеров атомов (результаты оценок по плотности конденсированного вещества) пришлось предположить, что их электроны “вынесены на периферию”. Простейшим объяснением причин, удерживающих электрон от падения на положительное ядро, было предположение об их движении в рамках предложенной Резерфордом планетарной модели атома.

3. Последовательное описание в рамках классической теории процессов взаимодействия света с веществом приводило к абсурдному выводу, противоречащему реальным ненаблюдаемым эффектам, о неизбежном перетекании всей энергии от вещества к электромагнитному полю, который получил название ультрафиолетовой катастрофы.. Этот результат возникал как вследствие электродинамического рассмотрения уединенного атома Резерфорда (вращающийся вокруг ядра электрон, как любой ускоренно движущийся заряд, должен излучать энергию в виде электромагнитных волн, что должно приводить к его падению на ядро через с после начала движения), так и в результате термодинамического рассмотрения условия равновесия обладающего конечным числом степеней свободы вещества с излучением, число степеней свободы которого бесконечно (принцип возрастания энтропии требует перетекания энергии из более сосредоточенного ее состояния в веществе к менее упорядоченное состояние, соответствующее равновероятному распределению по своему бесконечному набору степеней свободы системы “вещество + электромагнитное поле”). Получение одинакового неверного результата в рамках двух различных классических теорий заставляло усомниться в правильности основополагающих принципов, заложенных в из основе.

4. Опыты показывали,что излучение слабо взаимодействующих друг с другом атомов (газоразрядная плазма) происходит лишь на определенных дискретных частотах. В простейшем случае атомов водорода наблюдаемые частоты подчинялись очень простой, но никак не объясняемой классической физикой эмпирической закономерности:

(1) ,

где M и N - любые целые числа.

5. Опыты по фотоэффекту (явлению выбивания светом электронов с поверхности проводника) указывали, что свет может вести себя подобно частицам и пропорциональной частоте излучения энергией, количество которых пропорционально его интенсивности.

6. Теплоемкость “идеального газа электронов” в проводящих кристаллах оказывалась исчезающе малой (при нагревании тел входящие в его состав электроны не поглощали энергии на увеличение скоростей хаотического движения, оставаясь “вмороженными”).

7. Периодическая зависимость химических свойств элементов от зарядов ядер их атомов не могла быть удовлетворительно объяснена классической физикой.

8. Детерминированность фундаментальных законов классической физики явно противоречила низкой предсказуемости поведения биологических объектов.

Т.о. на рубеже веков накопилось большое количество на первый взгляд разрозненных экспериментальных результатов, не укладывающихся в рамки представлений классической физики. Постепенно возникло понимание того, что причина кроется не в ошибочности отдельных теорий, а в неполноте основополагающих принципов классического естествознания.

Кванты. Первый шаг на пути к преодолению возникших проблем был сделан Максом Планком на основе детального анализа условий термодинамического равновесия излучения и модельного вещества, представляющего собой ансамбль классических атомов Томсона, имеющих всевозможные резонансные частоты. Выбор простой модели позволил до конца провести все расчеты в аналитическом виде, что существенно облегчило анализ принципиальных ошибок классического описания. Планк установил, что проблема ультрафиолетовой катастрофы может быть снята, если предположить, что энергия совершающих гармонические колебания электронов может принимать не непрерывный, а дискретный набор значений (рис.19_1):

(2) ,

где - частота собственных колебаний квазиупругого электрона, n=0, 1, 2, 3,...- целое число (“номер энергетического уровня”), а константа пропорциональности получила название постоянной Планка. При этом обмен энергией между атомом Томсона и излучением оказывается возможным лишь дискретными порциями - квантами, величина которых определяется разностью энергий уровней:

(3) .

Дискретный характер обмена энергией атомов с полем “исключал из игры” огромное число степеней свободы последнего и устранял неизбежное перетекание к ним всей энергии вещества.

Полученное на основе гипотезы (2) выражение для распределения по частотам энергии теплового равновесного излучения “спектр излучения абсолютно черного тела” (рис. 19_2):

(4)

находится в прекрасным согласии с результатами измерений спектров, излучаемых нагретым плотным веществом (раскаленные твердые тела, поверхности звезд и т.д.). В настоящее время формула (4) широко используется для определения температур поверхностей самосветящихся разогретых тел.

Квантовая гипотеза Планка хорошо согласуется с законами фотоэффекта.

Предложенная Планком модель с современной точки зрения обладала множеством недостатков, поскольку использовала множество допущений, характерных для классической теории: электромагнитное поле в ней рассматривалось классически, на основе уравнений Максвелла; предполагалось, что распределение атомов по энергиям подчиняется классической статистике Больцмана; наконец сама формула (2) для энергия осциллятора впоследствии оказалась неточной. Несмотря на этом успех гипотезы Планка был предопределен введением ключевого понятия - кванта, дальнейшее развитие которого привело к созданию современной картины естествознания.

Фотоны. Рассмотрение электромагнитного поля даже в рамках классической теории позволяет приписать ему “традиционные” для частиц характеристики: энергию и импульс. Квантованный характер обмена энергией между веществом и полем и открытые законы фотоэффекта делали весьма соблазнительной идею рассмотрения поля как совокупности частиц фотонов, рождающихся и гибнущих при излучении и поглощении света соответственно. Поскольку скорость распространения электромагнитного поля в вакууме совпадает с предельным значением с, фотон является ультрарелятивистской частицей с равной нулю массой покоя: в противном случае импульс фотона был бы бесконечно большим, и процедура загорания на пляже не доставляла бы нам ни малейшего удовольствия:

(5) .

Релятивистское соотношение между энергией и импульсом

(6) ,

получающееся в результате скалярного умножения четырехвектора энергии-импульса (12_9) на себя, приводит к следующему выражению, связывающему импульс фотона с его частотой:

(7) .

Наличие импульса у фотона позволило изящно и количественно правильно описать явление светового давления как простое следствие закона сохранения импульса при поглощении света веществом.

Концепция фотонов (корпускулярная модель) привела к большим трудностям при интерпретации экспериментов по интерференции и дифракции, доказывающих волновую природу света.

Корпускулярно-волновой дуализм. Весьма распространено мнение о том, что корпускулярные и волновые свойства света не могут проявляться одновременно: в опытах по интерференции свет ведет себя как волны, а при взаимодействии с веществом - как частицы. О такой “взаимоисключающей двойственности” принято говорить как о корпускулярно - волновом дуализме.

Отношение к этой проблеме сильно зависит от того, какой смысл вкладывается в понятия “волна” и “частица”. Например, если называть волной любой объект, описываемый гармонической функцией типа (16_3), а частицей - соответственно объект, описываемый дельта-функцией, то всякий объект природы, допускающий описание при помощи математических функций может рассматриваться либо как совокупность волн, либо -частиц в зависимости от желания. Поскольку помимо указанных существует множество других ортогональных наборы функций, с точки зрения математики последовательный подход требует признания не двойственности, а бесконечной множественности природы как микроскопических, так и макроскопических объектов.

Традиционная же для физике проблема состоит в попытке разрешить дилемму о том, идентично ли поведение света потоку подчиняющихся механике Ньютона “небольших шариков” - корпускул или оно подобно поведению волн на поверхности воды или звуковых колебаний в воздухе. При этом вопросы о том, почему свет обязан быть похожим на привычные нам объекты макромира и почему привычные для нас законы поведения классических частиц и волн не требуют объяснения не задаются.

Что же касается возможности опыта, в котором одновременно проявлялись бы и волновые и корпускулярные свойства света, то для его осуществления достаточно в классическом опыте Юнга уменьшить интенсивность источника света (например, до уровня излучения одного фотона в минуту), а для регистрации интерференционной картины использовать пластинку с фотоэмульсией (химическим соединением, зерна которого разрушаются при воздействии света). При такой постановке опыта видно, что каждый фотон на пластинке оставляет зачерненную точку, то есть подобно частице локализован в пространстве. Однако положение засвеченных точек на фотопластинке совершенно не соответствует классическим представлениям о поведении ньютоновских частиц: по мере накопления их количества на пластинке появляется характерная для классических волн интерференционная картина.

Принципиальное отличие в поведении фотонов от классических частиц состоит в том, что при наличии интерференции света (оба отверстия в промежуточном экране открыты) наблюдаемая на фотопластинке картина не является суммой картин, возникающих при поочередном открывании отверстий (рис. 19_3). Т.о. утверждение о том, что при наличии интерференции каждый из фотонов пролетает либо через отверстие |1>, либо через отверстие |2> промежуточного экрана не является верным, поскольку принципиально невозможно зарегистрировать прохождение фотона через одну из щелей, не поглотив его. Поглощение же фотона у одной из щелей промежуточного экрана просто означает ее закрытие, что неминуемо приводит к исчезновению интерференционной картины.

По современным представлениям на вопрос о том, в какую точку фотопластинки |x> попадет излученный источником фотон, теория в принципе не может дать ответа, позволяя лишь рассчитывать только вероятность попадания частицы в рассматриваемую точку. Эта вероятность оказывается пропорциональной классическому значению интенсивности света (квадрату модуля электрического поля), вычисляемому обычными методами решения задач интерференции:

(8) .

Энергия, переносимая интерферирующими световыми пучками равна произведению энергии одного фотона (3) и числа фотонов, попадающих в рассматриваемую точку (разумеется пропорционального вероятности P(x)). Таким образом снимается “противоречие” между классическим и планковским выражениями для энергии электромагнитного поля.

Значение фотонной модели. Предложенная А.Эйнштейном модель фотонов (“частиц, летящих без траекторий”) завоевала большую популярность из-за своей наглядности и до сих пор широко используется при решении задач квантовой механики. Введенное для объяснения взаимодействия удаленных друг от друга зарядов электромагнитное поле наконец получило “почти зримый образ” совокупности частиц. Наглядность этого “образа” весьма обманчива: свойства фотонов существенно отличаются от привычных свойств частиц, что иногда приводит к недоразумениям даже у специалистов. Более того, может быть поставлена под сомнение целесообразность самой концепции фотонов, поскольку эти “частицы” могут быть зарегистрированы лишь как акт взаимодействия излучения с веществом, в все моменты между излучением и поглощением фотон принципиально ненаблюдаем.

20. Принципы квантовой механики

Соотношение неопределенности Гейзенберга. Логическим развитием идеи о корпускулярных свойствах света (“волны могут вести себя подобно частицам”) явилось признание волновых свойств у частиц (электрон, нейтрон, протон и т.д. мало отличаются от фотонов и подобно им могут проявлять волновые свойства).Например, в случае очень близкого расположения небольших щелей в опыте Юнга с источником электронов вместо светового так же возникает интерференционная картина. Рентгеновские лучи (фотоны с очень большой энергией) при дифракции на трехмерной кристаллической структуре дают картинку, сходную с получающейся при дифракции электронов.

Рассуждения, аналогичные ранее проделанным для интерферирующих фотонов, требуют признания невозможности постановки эксперимента по выяснению через какое из двух отверстий пролетел электрон при условии сохранения интерференционной картины. В отличие от фотона, электрон (или другая элементарная частица) в принципе могут быть зарегистрированы без их обязательного поглощения (например, по рассеянному на них свету). Однако, любое взаимодействие обладающих малыми частиц с другими телами (даже со светом) неизбежно приводит к существенным изменениям состояний самих наблюдаемых частиц, что ведет к разрушению интерференционной картины (фотоны при рассеянии передают частицам импульс порядка , попытка уменьшения которого за счет уменьшения частоты освещающего излучения неизбежно приводят к потере информации о положении частицы из-за явления дифракции). Многочисленные мысленные эксперименты, подобные рассмотренному приводят к выводу о невозможности одновременного измерения координаты и импульса частиц со сколь угодно высокой наперед заданной точностью. Выражающее принципиальные ограничения на точность измерений неравенство, связывающее минимально возможные погрешности было предложено Гейзенбергом и носит название соотношения неопределенности:

(1) .

Соотношение неопределенности Гейзенберга явилось предметом пристального внимания философии, поскольку провозглашаемый принципиальный запрет перекликался с идеями сторонников агностических учений, отрицающих возможность познания окружающего нас мира. Несмотря на то, что подавляющее большинство естествоиспытателей уверено в познаваемости мира, требовался серьезный философский анализ возникшей проблемы. По-видимому, выход состоит в признании неприменимости методов описания макроскопических объектов к объектам микромира: если объект не обладает какими-либо характеристиками, то невозможности их точного экспериментального определения вовсе не означает невозможности изучения объекта (бессмысленность попыток получить экспериментально ответ на вопрос о длине хвоста черта не означает невозможности познания мира в целом). Т.о. соотношение неопределенности является “подсказкой” природы о том, что привычный язык классической кинематики и динамики Ньютона малопригоден для описания процессов с участием объектов микромира.

Дата добавления: 2014-12-16