Властивостей елементарних функцій

Обґрунтування вибору форми залежності з урахуванням

На етапі специфікації економетричної моделі встановлюють сукупність найбільш впливових факторних ознак і вид аналітичної форми залежності між факторними ознаками і результативною ознакою.

У найпростішому випадку економетрична модель (1.7) може бути представлена залежністю

, (3.1)

де - випадкова складова.

Факторна ознака x певним чином впливає на значення результативного показника y і цей вплив зумовлюється характером перебігу економічного процесу, який описують за допомогою залежності y від x.

Залежність між досліджуваними ознаками може бути прямою, коли із збільшенням факторної ознаки збільшується значення результативного показника, або зворотною – в протилежному випадку. Крім того, економічний процес може відбуватися рівномірно, прискорено або сповільнено, з насиченням або необмежено. Економічний процес може мати і коливний характер.

Характер залежності, яка відображена функцією , визначається за знаком першої та другої похідних:

· якщо , то збільшення факторної ознаки призводить до збільшення результативного показника, тобто функція описує процес економічного зростання (пряма залежність);

· якщо , то збільшення факторної ознаки призводить до зменшення результативного показника, тобто функція описує спадний економічний процес (зворотна залежність);

· якщо , то процес є сталим, тобто зміна факторної ознаки не впливає на значення результативного показника ();

· якщо , то процес розвивається прискорено;

· якщо , то процес розвивається сповільнено;

· якщо , то процес розвивається рівномірно.

Процес розвивається необмежено, якщо для функції не існує горизонтальної асимптоти. Скажімо, залежність між витратами на виробництво одиниці продукції та кількістю випуску продукції має спадний характер і відповідна функція повинна бути обмеженою знизу. Натомість попит на товари першої необхідності описується сповільнено зростаючою функцією, яка буде обмеженою згори. Щодо функції загальних виробничих витрат, то при збільшенні обсягу виробництва вона буде зростати необмежено. Необмеженою можна вважати і функцію попиту на предмети розкоші при збільшенні доходів споживачів.

До числа найуживаніших в економічних дослідженнях елементарних функцій можна віднести:

· лінійну: ;

· гіперболічну: ;

· степеневу: ;

· квадратичну: ;

· експоненційну: ;

· логарифмічну: ;

· тригонометричну: .

Вибір відповідної до перебігу економічного процесу форми зв’язку відбувається з урахуванням характеру залежності між економічними ознаками та властивостями функції.

Для прикладу:

· лінійну функцію можна використовувати для опису рівномірного процесу, оскільки ;

· гіперболічну функцію можна використовувати для опису процесу економічного зростання (при маємо ) або спадання (при маємо ). При цьому економічний процес є обмеженим, бо ;

· степенева функція при описує сповільнений () процес економічного зростання (), а при - прискорений процес економічного зростання;

· квадратична функція в залежності від значень може описувати як обмежені, так і необмежені процеси економічного зростання чи спадання. Параболи вищих порядків використовують для опису процесів, які мають коливний неперіодичний характер;

· експонента , модифікована експонента і обернена модифікована експонента використовуються для опису процесів із насиченням (при );

· логарифмічна функція в залежності від значення основи логарифма може описувати процес економічного зростання або спадання . При цьому функція має вертикальну асимптоту ;

· тригонометричні функції вживаються для відображення коливних періодичних процесів.

Розглянемо детальніше властивості найбільш характерних функцій (кривих зростання), які використовують для опису залежностей попиту (пропозиції) від ціни і доходу, а також інших економічних залежностей.

Залежність між рівнем доходу сім’ї певної соціальної групи та її витратами на придбання окремих видів товарів і послуг характеризує крива Енгеля (крива залежності споживання від доходу). В загальному випадку крива Енгеля описується такою функцією:

. (3.2)

де y - рівень споживання; d - розмір доходу сім’ї.

З урахуванням особливостей споживання товарів певних видів (з насиченням, рівномірно, необмежено) можна зробити висновок, що форма залежності (3.2) для них буде істотно різнитися.

Емпіричні закономірності споживання від доходу, що були досліджені Е.Енгелем, можна виразити так: при зростанні доходу сім’ї зменшується відносна частка витрат на харчові продукти, частка витрат на одяг та оплату житла залишається сталою, а частка витрат на предмети тривалого користування і медичне обслуговування стрімко зростає.

Характер зміни цих трьох кривих Енгеля зображено на рис.3.1.

Рис.3.1. Криві Енгеля

При знаходженні аналітичних виразів для кривих Енгеля (форми залежності) слід враховувати, що кожна з цих функцій буде зростаючою (), однак темп зміни у для кривої 1 буде сповільненим (), для кривої 2 – сталим (), для кривої 3 – прискореним ().

За Л.Торнквістом усі споживчі товари можна віднести до трьох груп: товари першої необхідності, товари необов’язкового вжитку, предмети розкоші.

При збільшенні доходу сім’ї попит на продукти харчування зростає повільніше, ніж на такі продукти, як одяг і взуття, в межах однієї групи товарів першої необхідності. У той же час темп зміни споживання товарів необов’язкового вжитку (предметів побутового призначення) може істотно перевищувати темп зміни споживання товарів першої необхідності. Емпіричні залежності, які описуються кривими Л.Торнквіста, зображено на рис.3.2.

Аналітичні вирази, які відповідають кривим Л.Торнквіста, мають такі вигляди:

- товари першої необхідності, (3.3)

- товари необов’язкового вжитку, (3.4)

- предмети розкоші, (3.5)

де d - рівень доходу сім’ї;

a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, d₂, d₃ - сталі додатні величини.

Рис.3.2. Криві Л.Торнквіста

Криві 1, 2 описуються гіперболічними функціями, які мають горизонтальну асимптоту (у = а₁; у = а₂). Крива 3 при d ® +¥ необмежено зростає і наближається до похилої асимптоти (у = а₃d).

Дослідження впливу податкової політики на розвиток економіки показало (А.Лафер), що зростання податкових ставок до певного оптимального рівня призводить до збільшення загальних податкових надходжень. Однак перевищення оптимальної ставки податку негативно впливає на пропозицію праці та капіталу, на інноваційні процеси і продуктивність праці, тим самим – на розвиток економіки.

Графічно емпірична залежність між ставкою оподаткування і податковими надходженнями зображена на рис.3.3.

Рис.3.3. Крива Лафера

Очевидно, що крива Лафера може описуватися параболічною функцією вигляду:

, (3.6)

де х – ставка податку; у – загальні податкові надходження.

А.Філіпс досліджував короткостроковий зв’язок між рівнем інфляції та розміром заробітної платні. На підставі даних Великобританії за 100 років він виявив обернений зв’язок між цими показниками. При цьому домінантою зміни номінальної заробітної платні був рівень (норма) безробіття.

Низький рівень безробіття призводив до збільшення номінальної заробітної платні, тим самим – до зростання інфляції при невідповідній зміні продуктивності праці.

Крива Філіпса зображена на рис.3.4.

Рис.3.4. Крива Філіпса

Обернений характер зв’язку між чинниками вказує на можливість представлення кривої Філіпса у вигляді гіперболічної функції:

, (3.7)

де х – норма безробіття; у – норма зміни заробітної платні.

При моделюванні економічних процесів з насиченням використовують функції, характерною особливістю яких є однобічна або двобічна обмеженість (крива Гомперця, логістична крива). Графіки цих функцій мають s -подібний характер.

До числа подібних процесів можна віднести ефективність витрат на рекламу товарів, залежність між витратами на підвищення якості і обсягом збуту продукції, залежність попиту від доходу тощо.

Крива Гомперця має вигляд:

. (3.8)

Графік функції Гомперця зображений на рис.3.5.

Рис. 3.5. Крива Гомперця

Логістична крива описується такою функцією (рис.3.6):

. (3.9)

Процес з насиченням може також описуватися функцією такого типу (рис.3.7):

. (3.10)

Зауважимо, що кожна з наведених економічних залежностей, яка встановлена на підставі емпіричних досліджень, може бути представлена аналітично низкою функцій, тому обґрунтування вибору найкращої форми залежності є окремим завданням дослідження. Відзначимо також, що аналітичну форму залежності можна знайти шляхом побудови регресійної моделі або математичної моделі з використанням апарату математичного аналізу.

Рис.3.6. Логістична крива

Рис. 3.7. Крива з насиченням s –подібного вигляду

Дата добавления: 2014-12-16