КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Рассеяние частиц на потенциальной ступенькеПлан лекции ОСОБЕННОСТИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА ЧАСТИЦ В СИСТЕМАХ ПОНИЖЕНОЙ РАЗМЕРНОСТИ ЛЕКЦИЯ №2 1.1. Рассеяние частиц на потенциальной ступеньке. Проведем анализ системы, в которой частицы, испускаемые источником, удаленным на большое расстояние, рассеиваются на той или иной преграде, уходя после этого в бесконечность. Простейшей моделью данной задачи, соответствующей случаю рассеяния на потенциальном рельефе с большим масштабом неоднородности, является рассеяние частицы на потенциальной ступеньке (прямоугольном потенциальном барьере бесконечной ширины) (1) где U0 = const (рис. 2.1, а).
Исследуем особенности поведения частицы в таком потенциальном рельефе. Будем полагать, что источник частиц находится далеко слева (при x ®-¥), а испускаемые им частицы движутся слева направо. Поскольку задача стационарная (высота барьера не зависит от времени), отыскание состояний движения частицы сводится к решению стационарного одномерного уравнения Шредингера , (2) здесь т - масса частицы; Е - полная энергия частицы. В данном случае уравнение (2) удобно решать отдельно для областей x < 0 и x > 0. В области х < 0 (на рис. 2.1, а область 1), где U (х) = 0, (2) принимает вид уравнения для свободной частицы, а его общее решение , (3) где . (4) Если учесть, что в случае стационарных состояний волновая функция гармонически зависит от времени, то Y1 представляет собой суперпозицию падающей и отраженной волн де Бройля. Таким образом, А 1является амплитудой волны, распространяющейся от источника к потенциальной ступеньке (падающие на ступеньку частицы), а В 1 - амплитудой рассеянной волны, распространяющейся назад к источнику (отраженные от ступеньки частицы). В области х > 0 (область 2) уравнение (2) принимает вид . (5) Характер решения уравнения (5) определяется соотношением между энергией падающей частицы Е,задаваемой источником, и высотой потенциальной ступеньки U 0. В случае Е > U 0 общее решение для волновой функции в области 2 имеет вид , (6) где . (7) Учитывая однородность среды в области 2 (по постановке задачи здесь других источников рассеяния нет), амплитуду В 2«встречной» волны в области 2 следует положить равной нулю. При этом А 2является амплитудой волны, прошедшей за ступеньку (частицы, пролетающие над барьером). Таким образом, для Е > U 0 . (8) Физический интерес представляют коэффициенты прохождения и отражения, определяемые отношением плотностей потоков прошедших и отраженных частиц к плотности потока падающих частиц. Для расчета коэффициентов прохождения D и отражения R воспользуемся понятием вектора плотности потока вероятности (квантовым аналогом классического вектора плотности потока частиц). Выражение для в одномерном случае принимает вид: . (9) Сучетом (9) коэффициент прохождения (коэффициент прозрачности) , (10) а коэффициент отражения . (11) Вычислим величину вектора плотности потока вероятности в области 2, для этого подставим (8) в (9): . (12) Аналогично в области 1 плотность потока вероятности падающих частиц может быть представлена в виде , (13) а плотность потока частиц, отраженных от потенциальной ступеньки, . (14) С учетом (10) и (11) имеем (15) и . (16) Таким образом, для определения коэффициентов прохождения и отражения необходимо выразить амплитуды прошедшей и отраженной волн А 2и В 1через амплитуду падающей волны А 1. Чтобы найти А 2и В 1 воспользуемся условиями непрерывности волновой функции и сохранения потока частиц. Так как в нашем случае граница двух сред соответствует х = 0, из этих двух условий и вида функций Y1(х)и Y2(х)получим , , (17) откуда с учетом (1.1.15)-(1.1.17), (1.1.4) и (1.1.7) ; (18) , (19) где a= E / U 0. Плотность потока вероятности частиц при х > 0 равна . (20) Полученные результаты сильно отличаются от классических. Согласно законам классической механики частица, обладающая энергией Е > U 0, всегда проникает в область 2 (при полной потере кинетической энергии в случае Е = U 0). Согласно законам квантовой механики при Е > U 0 имеется конечная вероятность отражения частицы от потенциального барьера, так что в области 1 есть встречный поток отраженных частиц ,причем отражение будет полным, если Е = U 0. В любом случае D + R = 1. Отметим, что для частиц, движущихся к барьеру из +¥, D и R могут быть вычислены тоже по формулам (18) и (19). При заданной полной энергии Е (Е > U 0)коэффициенты прохождения и отражения не зависят от направления движения частиц. То есть частицы, движущиеся к барьеру слева, имеют такую же вероятность отразиться от него, что и частицы с той же энергией, движущиеся к барьеру справа. При этом вероятности прохождения и отражения определяются только отношением Е / U 0. Смена направления движения приводит к изменению фазы отраженной волны. В нашем случае для частиц, падающих на ступеньку слева, отражение происходит в фазе с падающей волной, а при движении справа - в противофазе. В случае, когда энергия падающей частицы Е < U 0,характер решения уравнения (5) радикально меняется. В соответствии с (7) К 2становится мнимым и общее решение (6) будет не комбинация двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях, а совокупность двух монотонных функций. , (21) где . Учитывая требование конечности волновой функции, необходимо положить С1 = 0 (х > 0). Таким образом, при Е < U0 (22) «Сшивая» волновые функции (3) и (22) и их производные при х = 0, получим:
(23) (24) Отметим, что в случае Е < U0 амплитуды В1 и С2 - комплекcные числа, а коэффициент отражения R равен единице: Таким образом, при Е < U0 все частицы отражаются от потенциальной ступеньки так, что в области 2 поток частиц отсутствует. Несмотря на это, в области 2 волновая функция отлична от нуля, т.е. имеется определенная, хотя и малая, вероятность проникновения частицы внутрь потенциального барьера. В области х > 0 Частица как бы проходит внутрь потенциального барьера и возвращается назад (поток частиц в области 2 отсутствует). При этом между падающей и отраженной волнами появляется фазовый сдвиг: Эффективная глубина проникновения под барьер, на которой вероятность обнаружения частицы еще заметно отлична от нуля, имеет порядок величины 1/β. Зависимость коэффициента отражения R от отношения Е/U0 показана на рис. 2.1,б.
Дата добавления: 2014-11-28; Просмотров: 634; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |