Движение частицы в сферически симметричной прямоугольной потенциальной яме

Развитие нанотехнологии инициировало широкое исследование новых классов нанообъектов, в частности квантовых точек, в кото­рых осуществляется пространственное ограничение носителей за­ряда в трех измерениях. Квантовые точки как квазинульмерные системы важны не только как возможная элементная база для наноэлектроники, но и как модельные объекты для фундаментальных исследований. Электронный спектр изолированных КТ представ­ляет собой набор дискретных уровней размерного квантования, и в этом смысле они могут рассматриваться как гигантские искусст­венные атомы с контролируемо изменяемыми параметрами, таки­ми как глубина и характер удерживающего потенциала, число час­тиц и характерные размеры области их локализации.

Вид удерживающего потенциала определяется способом полу­чения КТ. Для его представления наиболее часто используются модель «жестких стенок» и модель параболического удержива­ющего потенциала.

Соответствующая ортонормированная система одночастичных волновых функций имеет вид

(1.7.12)

где m-магнитное квантовое число; -присоединенные функции Лежандра первого рода; Г(x) - гамма-функция Эйлера; - обобщенный многочлен Лагерра; r,Θ,φ- сферические ко­ординаты от центра ямы; α - параметр крутизны удерживающего потенциала U(r,Θ,φ)=αr². Так как каждое значение может быть получено несколь­кими комбинациями значений n и l, стационарные состояния сферического осциллятора, начиная с третьего, оказываются g(N)-кратно вырожденными, причем

g(N)=0,5(N+1)(N+2) (1.7.13)

Например, уровень энергии будет шестикратно вы­рожден. В одном из этих шести состояний угловой момент (а следо­вательно, и орбитальное квантовое число l) равен нулю (s-состояние), а остальные пять состояний относятся к d-состояниям, которые различаются проекциями углового момента.

Необходимо отметить, что в случае сферического осциллятора вырождение каждого из p-, d-, f - и т.д. состояний является ре­зультатом сферической симметрии потенциального поля, а вырож­дение, благодаря которому s-состояние имеет энергию, совпадаю­щую с энергией d-состояния (при N = 2), является «случайным». Оно обусловлено не симметрией задачи, а квадратичной зависимо­стью потенциальной энергии от радиуса. Если зависимость потен­циальной энергии от радиуса будет отличаться от квадратичной (т.е. от U(r,Θ,φ)=αr²), например, членом βr^2k, то вырождение, связанное со сферической симметрией, сохранится, а случайное - будет отсутствовать.

Дата добавления: 2014-11-28