Динамика 1 страница

1. Поступательное движение

19. Импульс материальной точки, движущейся поступательно со скоростью v

.

20. Второй закон Ньютона

,

,

где - сила, действующая на тело.

21. Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

F = - k x,

где к - коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость); х – абсолютная деформация;

б) вес - сила, с которой тело действует на опору или подвес;

в) сила гравитационного притяжения

,

где m ₁ и m ₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между телами (тела – материальные точки или сферы). Силу можно выразить и через напряженность G гравитационного поля

F = mG;

г) сила тяжести

F = mg,

где g – ускорение свободного падения;

д) сила трения скольжения

F _тр = m N,

где m - коэффициент трения; N – сила нормальной реакции опоры.

22. Закон сохранения импульса

Для двух тел (i = 2)

,

где v ₁ и v ₂ – скорости тел в момент времени, принятый за начальный; u ₁ и u ₂ – скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

23. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно

24. Потенциальная энергия:

а) упруго деформированной пружины

,

где к – жесткость пружины; х – абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

,

где g - гравитационная постоянная; m ₁ и m ₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между ними (тела – материальные точки или сферы);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

П = mgh,

где g – ускорение свободного падения; h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где R - радиус Земли).

25. Закон сохранения механической энергии

Е = Т + П = const,

если система консервативна, т.е. работа неконсервативных сил А ^н/к (F _Т, F _cопр) = 0.

26. Механическая работа

A = F s cosa,

или

А = DЕ = Е ₂ – Е ₁,

работа – как мера изменения энергии.

А ^{консервативных} = - ΔП, А ^н/к = Е _М2 – Е _М1.

2. Вращательное движение

27. Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси

,

где w - угловая скорость тела.

28. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси

= I ,

где М – результирующий момент внешних сил, действующих на тело; e - угловое ускорение; I – момент инерции тела относительно оси вращения.

29. Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс:

а) стержня длины l относительно оси, перпендикулярной стержню,

;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра);

I = mR ²;

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

.

30. Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси

для двух тел

I ₁w₁ + I ₂w₂ = I ₁^′w′₁ + I ^′w^′₂,

где I ₁, w_1, I _2, w₂ – моменты инерции и угловые скорости тел в момент времени, принятый за начальный; I ₁^′, w′₁, I, ^′w^′₂ – те же величины в момент времени, принятый за конечный.

31. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

4.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

№ 1. Зависимость угла поворота тела от времени дается уравнением j = А + Вt +Ct ² + Dt ³, где А = 1 рад, В = 0,1 рад/с, D = 0,01 рад/с². Найти: а) угловой путь, пройденный за 3 с от начала отсчета времени; б) среднюю угловую скорость; в) среднее угловое ускорение за 3 с от начала движения.

Р е ш е н и е.

Угловой путь, пройденный за 3 с, равен j = j ₂ - j ₁, где j ₂ - угловой путь, пройденный за 3 с (t ₂ = 3c); j ₁ - угловой путь к моменту времени t ₁ = 0 c.

а) из зависимости углового пути от времени j (t) (см. условие задачи) найдем j ₁ и j ₂:

j ₁ = А = 1 рад.

j ₂ = А + Вt ₂² + Dt ₂³ = 1 + 0,1×3 + 0,02×3² + 0,01×3³ = 1,75 рад.

j = j ₂ - j ₁ = 1,75 - 1 = 0,75 рад.

б) средняя угловая скорость за 3 с от начала вращения выражается формулой

в) среднее угловое ускорение за 3 с от начала вращения

,

где w ₂ - угловая скорость в момент времени t ₂ = 3 c; w ₁ - угловая скорость в момент времени t ₁ = 0 с.

Мгновенную угловую скорость найдем по определению

= B + 2 Ct + 3 Dt ².

Подставим числовые данные:

t ₂ = 3 с. w ₂ = 0,1 + 2× 0,2 ×3 + 3×0,01×3² = 0,49 рад/с.

t ₁ = 0 c. w ₁ = B = 0,1 рад/с.

Среднее угловое ускорение

< e > = рад/с².

№ 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону

j = 10 + 20 t - 2 t ².

Найти полное ускорение точки (величину и направление), находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 с.

Р е ш е н и е.

Каждая точка вращающегося тела описывает окружность. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального , направленного по касательной к траектории, и нормального , направленного к центру кривизны траектории:

(1)

Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами:

а _t = e R,(2)

a _n = w ² R, (3)

где w - угловая скорость тела; e - его угловое ускорение; R - расстояние точки от оси вращения.

Подставляя формулы (2) и (3) в (1), находим

. (4)

Угловая скорость вращающегося тела равна первой производной от угла поворота по времени

В момент времени t = 4 с угловая скорость

w = (20 - 4×4)с^-1 = 4 рад/с.

Угловое ускорение вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени

Это выражение не содержит аргумента времени t, следовательно, угловое ускорение имеет постоянное значение, не зависящее от времени.

Подставив значения w и e в формулу (4), получим

№ 3. Из орудия вылетает снаряд со скоростью v ₀ = 1000 м/с под углом 30⁰ к горизонту (сопротивление воздуха не учитывать).

Определить: радиус кривизны траектории R в верхней точке полета; максимальную высоту подъема; время движения; расстояние S, на которое упадет снаряд по горизонтали.

Р е ш е н и е:

1. Принцип независимости: если тело участвует одновременно в нескольких движениях, то одно движение от другого не зависит.

2. Принцип суперпозиции: однородные величины, относящиеся к одному объекту, могут быть сложены.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как сложное, состоящее из двух более простых: равномерного - в горизонтальном направлении и равнопеременного - в вертикальном. Траекторией движения будет парабола.

На чертеже обозначим оси 0x и 0y, траекторию движения, начальную скорость v ₀, угол бросания a, высоту поднятия h, дальность полета S, скорость в момент падения v и угол падения b. Разложим векторы и на горизонтальные и вертикальные составляющие:

v _0x = v ₀cos a,

v _0y = v ₀sina.

Запишем уравнения скорости и пути для обоих направлений. По горизонтали:

v _x = v _0x = v ₀cos a = const., (1)

S = v _x 2 t = (v ₀cos a) t, (2)

где t - время поднятия снаряда до верхней точки.

По вертикали:

v _y = v _0y - gt = v ₀sin a - gt. (3)

h = v ₀ t sinα - gt ²/2. (4)

Это движение равнозамедленное.

1. Радиус кривизны траектории находим из формулы нормального ускорения

Определим а _n. Полное ускорение в любой точке траектории

.

В верхней точке траектории полная скорость определяется только составляющей скорости вдоль оси 0 Х, так как в этой точке v _y = 0: v _x = v _0x = const; Вследствие того, что составляющая скорости вдоль оси Ох – постоянная величина, касательное ускорение в верхней точке траектории a _t равно нулю. Следовательно,

;

a _n = g.

2. Высоту h найдем по уравнению (4), а время подъема по уравнению (3):

Подставив выражение времени t в формулу высоты h, получим

3. Путь S находим, применяя уравнение (3)

S = 2 v ₀cos a = 2 .

№ 4. Лифт опускается вниз и перед остановкой движется замедленно. Определить, с какой силой (вес тела) будет давить на пол лифта человек массой 60 кг, если ускорение лифта равно 4 м/с².

Р е ш е н и е.

1. Записать II закон Ньютона.

.

2. Сделать схематический чертеж, на котором указать силы, действующие на тело, ускорение тела и систему отсчета: - сила тяжести; - сила нормальной реакции опоры (пола кабины). По III закону Ньютона вес тела численно равен силе нормальной реакции , противоположно направленной и приложенной к опоре: = - .

3. Расписать второй закон Ньютона в векторной форме в соответствии с условием задачи

4. Записать это уравнение в скалярной форме, проектируя все векторы на ось (направление оси выбирается произвольно):

х: N - mg = ma.

Из этого уравнения выразить N

N = mg + ma.

Следовательно,

P = g(m + a).

Подставить числовые данные:

Р = 60(4 + 9,8) = 840 Н.

№ 5. Вагонетку массой 3 т поднимают по рельсам в гору, наклон которой 30⁰. Какую работу совершает сила тяги на пути в 50 м, если известно, что вагонетка двигалась с ускорением 0,2 м/с²? Коэффициент трения принять равным 0,1.

Р е ш е н и е.

Работа постоянной силы тяги F _т определяется по формуле

A = F _т S cos a.,

где α угол между силой и перемещением. Сила тяги направлена вдоль перемещения, поэтому угол a = 0 и cos a = 1.

1. .

2. Сделать чертеж.

3. Записать уравнение II закона Ньютона в векторной форме.

На тело действуют четыре силы:

Так как силы направлены под углом друг к другу, то систему отсчета составим из двух взаимно перпендикулярных осей x и y, развернув ее для удобства так, что одну ось направим вдоль наклонной плоскости, а другую - перпендикулярно ей.

4. Записать уравнение в проекциях на оси:

х: mg sin a - F _т + F _тр + 0 = - ma,

y: - mg cos a + 0 + 0 + N = 0,

F _тр = m N,

где m - коэффициент трения.

Решить систему трех уравнений относительно F _т

F _т = mg sin a + m mg cos a + ma = m (g sin a + m g cos a + a).

5. A = F _т S = m (g sin a + m g cos a + a) S.

Подставить числовые данные:

A = 3 10³ (0,2 + 10×0,5 + 0,1×10×0,87)50 = 900 кДж.

№ 6. Маховик, выполненный в виде диска радиусом 0,4 м и имеющий массу 100 кг, был раскручен до скорости вращения 480 об/мин и предоставлен самому себе. Под действием трения вала о подшипники маховик остановился через 1 мин 20 с. Определить момент силы трения вала о подшипники.

Р е ш е н и е.

Используем основное уравнение динамики вращательного движения

М D t = Iw ₂ - Iw ₁,

где М - тормозящий момент; D t - время действия тормозящего момента; I - момент инерции маховика; w ₂ - конечная угловая скорость; w ₁ - начальная угловая скорость.

Решая уравнение относительно М, получим:

Найдем числовые значения величин и подставим их в выражение для M.

Знак «минус» означает, что момент М - тормозящий.

№ 7. Железнодорожная платформа с установленным на ней орудием движется горизонтально со скоростью v ₀ = 1 м/с. Масса платформы вместе с орудием М = 2 ×10⁴ кг. Из орудия выпускается снаряд по ходу платформы со скоростью u ₁ = 800 м/с под углом a = 30⁰ к горизонту. Масса снаряда m = 20 кг. С какой скоростью u ₂будет двигаться платформа после выстрела?

Р е ш е н и е.

1. Записать закон сохранения импульса

2. Сделать схематический чертеж с указанием импульсов тел системы, проекций и системы отсчета.

3. Написать уравнение в проекциях

(M - m) v ₀ + mv ₀ =

(M - m) u ₂ + mu ₁cos a,

4. Решить уравнение относительно u ₂

5. Подставить данные

№ 8. Платформа в виде диска радиусом R = 1,5 м и массой m ₁ = 150 кг вращается по инерции около вертикальной оси, делая n = 10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой m ₂ = 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Р е ш е н и е.

1. Записать закон сохранения момента импульса

или

I ₁w₁ + I ₂w₂ = I ₁^΄w₁^΄ + I ₂^΄w₂^΄.

2. Записать закон для задачи

(I ₁ + I ₂) w = (I ₁ + I ₂^΄) w^΄, (1)

где: I ₁ - момент инерции платформы; I ₂ - момент инерции человека, стоящего в центре платформы; w - угловая скорость платформы с человеком, стоящим в центре; I ₂^΄ - момент инерции человека, стоящего на краю платформы; w^΄ - угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю.

3. Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением:

v =w^΄ R. (2)

4. Угловую скорость w^΄ выразить из уравнения (1)

и подставить в уравнение (2)

. (3)

5. Момент инерции платформы - диска

момент инерции человека - материальной точки

I ₂ = 0; I ₂^’ = m ₂ R ².

Угловая скорость платформы w до перехода человека

w = 2 pn.

6. Подставить выражения I ₁, I ₂, I ₂^’ и w в формулу (3)

и упростить

7. Подставить числовые значения величин

№ 9. Трамвайный вагон массой 16 т движется по горизонтальному пути со скоростью 6 м/с. Какова должна быть тормозящая сила, чтобы остановить вагон на расстоянии 10 м?

Р е ш е н и е.

Большинство задач механики можно решать двумя способами: используя законы динамики или с помощью законов сохранения и превращения энергии. Предлагаемую задачу решим вторым способом.

1. Определить, какие силы действуют в системе. Так как в системе работают и консервативные силы (mg) и неконсервативные (F _тр), а движение горизонтальное, удобно применить теорему об изменении кинетической энергии

2. Сделать чертеж, на котором указать начальное и конечное положения тела, силы, скорость, ускорение и систему отсчета. Принять горизонтальный путь по рельсам за нулевой уровень потенциальной энергии.

3. Расписать уравнение

.

Кинетическая энергия в конечном состоянии mv ₂²/2 = 0, работы сил тяжести и нормальной реакции опоры в направлении оси х тоже равны нулю (А = F S cos a).

4. Записать уравнение в окончательном варианте

.

5. Определить силу торможения

Подставить данные

№ 10. Люстра весом 98 Н висит на цепи, которая выдерживает нагрузку 196 Н. На какой максимальный угол a можно отклонить люстру от положения равновесия, чтобы при последующих колебаниях цепь не оборвалась?

Р е ш е н и е.

1. Определить, какие силы действуют в системе (сила тяжести mg и сила натяжения нити F _н), и выбрать идею решения. Так как в задаче фиксируются два положения тела, а система консервативна (работа неконсервативных сил равна нулю), то решить задачу можно с использованием закона сохранения энергии.

Е _м = const, A ^нк = 0.

2. Сделать чертеж. За нулевой уровень потенциальной энергии удобно принять уровень положения равновесия (т. О). Отметить положения I и II системы, силы тяжести и натяжения, вектор нормального ускорения, скорость при прохождении положения равновесия, высоту h, на которую поднимается люстра, угол отклонения a.

3. Расписать закон сохранения энергии

Е _мI = E _мII; E _пI + 0 = 0 + E _кII; mgh = .

4. Так как этого уравнения недостаточно для нахождения неизвестного, применить II закон Ньютона для криволинейного движения и решить систему двух уравнений

1. mgh = ,

2. .

5. Записать второе уравнение в скалярной форме (через проекции на ось х):

х: , где R = l - длина нити.

Из первого уравнения выразить mv ² и подставить в х)

F _н - mg = .

6. Ввести неизвестное, обратившись к рисунку.

Из треугольника АВС: ВС = АВ cos a = l cos a.

h = l - l cos a = l (1- cos a)

Высотуподнятия h подставить в рабочее уравнение и найти a

F _н - mg = 2 mg (1- cos a),

cos a = ,

cos a = 0,5; a = 60⁰.

№ 11. Какую мощность N должен развить мотор самолета для обеспечения подъема самолета на высоту h = 1 км, если масса самолета m = 3000 кг, а время подъема t = 1 мин? Движение считать равноускоренным.

Р е ш е н и е.

1. Как и в предыдущих задачах, определить силы, действующие в системе, выбрать идею решения.

Так как система неконсервативна - на самолет действуют консервативная сила тяжести () и неконсервативная сила тяги (), - а движение вертикальное, удобно выбрать закон превращения полной механической энергии.

Е _мII - Е _мI = A ^нк,

где Е _м = Е _к + Е _п.

2. Сделать чертеж

3. Расписать уравнение

() - 0 = A _Т,

где A _Т - работа силы тяги мотора, 0 - полная энергия в положении I.

4. Записать уравнение мощности по определению

и подставить в него выражение A _Т.

5. Выразить скорость v в конечном состоянии II, используя уравнения равноускоренного движения v ² - v ₀²= 2 ah и v = v ₀ + at, где v ₀ = 0.

h = v _ср t = (0 + v) t /2,

.

6. Подставить v в формулу мощности

Дата добавления: 2014-12-16