Основные формулы комбинаторики

Классическое определение вероятности

Исходы испытания называют равновозможными, если нет объективных причин считать, что какие–либо из них могут происходить чаще, чем другие.

Событие В называется благоприятствующим событию А, если появление события В означает одновременно появление события А.

Пример 2.5. Событие В= {выпадение двух очков на игральной кости} благоприятствует событию А= {выпадение четного числа очков}.

Определение (классическое). Вероятностью события А в данном опыте называется отношение числа т исходов опыта, благоприятствующих событию А, к общему числу п исходов опыта, образующих полную группу попарно несовместных равновозможных событий:

Пример 2.6. Опыт – бросание игральной кости. Событие – А= {выпадение четного числа очков}. Исходы опыта – выпадение того или иного числа очков. Очевидно, что шесть возможных исходов опыта образуют полную группу попарно несовместных равновозможных событий (n =6)Благоприятствуют событию А три исхода: выпадение 2–х, 3–х и 6–и очков (m =3).Следовательно, Р (А)= m / n =3/6= 1/2.

Из классического определения вероятности следует, что 0£Р(А)£1, причем вероятность невозможного события равна нулю (практически невозможного события близка к нулю), а вероятность достоверного – единице (практически достоверного события близка к единице).

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов конечного множества в соответствии с заданными правилами. В теории вероятностей формулы комбинаторики широко используются для подсчета числа исходов опыта.

Основной принцип комбинаторики. Пусть требуется выполнить одно за другим k действий, причем первое действие можно выполнить п ₁, способами, второе – п ₂способами и т.д., тогда все k действий можно выполнить следующим числом способов:

п = п ₁× п ₂× .. × п_k.

Все приводимые ниже формулы комбинаторики выводятся как следствия из этого основного правила.

Сочетания. Пусть W – множество из п элементов. Произвольное (неупорядоченное) т– элементное подмножество множества из п элементов называется сочетанием из п элементов по т. Сочетаниями из трёх элементов по два являются следующие неупорядоченные подмножества множества { а, b, c }: { a,b },{ a,c },{ b,c }.

Число сочетаний из п элементов по т

Определение2.1. Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до п (п – число элементов множества) так, что различным элементам соответствуют различные числа.

Перестановки. Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т. е. могут быть получены из того же самого множества), называются перестановками этого множества. Например, перестановками множества { а, b, с }являются упорядоченные множества (а, b, с), (а, с, b), (b, а, с), (b, с, а), (с, а, b), (с, b, а).

Число перестановок из п элементов

Р_п =1×2×...× (n –1) n = n!

Размещения. Упорядоченное m –элементное подмножество множества из п элементов называется размещением из п элементов по т. Например, размещениями из трёх элементов по два являются следующие упорядоченные подмножества множества (а, b, с): (а, b), (b, а), (а, с), (с, а), (b, с), (с, b).

Число размещений из п элементов по т

Пример 2.7. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набран правильный номер.

Решение. Воспользуемся классическим определением вероятности. Общее число исходов испытания (выбор в определенном порядке двух цифр из десяти) равно числу вариантов извлечения двух элементов из десяти с учетом порядка следования их, т.е. числу размещений из десяти элементов по два:

Благоприятный исход испытания только один, т =1. Следовательно, искомая вероятность равна p =1|90.

Пример 2.8. В партии из десяти деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу изделий 4 стандартных.

Решение. Общее число исходов испытания равно числу вариантов извлечения шести деталей из десяти без учета порядка извлечения, т.е. равно числу сочетаний из десяти элементов по шесть:

Число благоприятных исходов согласно основному правилу комбинаторики равно произведению числа вариантов извлечения четырех деталей из семи стандартных на число вариантов извлечения двух деталей из трех нестандартных:

Искомая вероятность равна р= 105/210= 1/2.

Дата добавления: 2014-12-16