Матрица линейных отображений и ее свойства

Опр. 10.1. Пусть V,U - лин. пространство над Р. (1) базис V, (2) базис U. Матрица системы векторов в базисе (2) назыв. матрицей линейного отображения f, соответств. базисам (1) и (2).

Пример 10.2. .

Покажем, что F – линейно. Линейность доказана. Построим матрицу F, соотв. (I) и (II).

Св-во 10.3. Пусть f: V→U - линейное отображение. (1) и (2) – базисы V и U, тогда f соотв. матрица А, отображение относительно базисов (1) и (2). . Доказательство: Наоборот. Если даны базисы (1) и (2), пространства V и U, и дана матрица А из множества матриц размерности mxn, то существует единственное линейное отображение f: V→U, для которого матрица А является матрицей соответствующего базиса (1) и (2). То, что линейному отображению соотвествует матрица, следует из определения 10.1. Пусть дана

- система из n векторов пространства U. в базисе (2) имеет координатами j-й столбец матрицы А. По теореме о линейном отображении существует единственное линейное отображение такое, что f: V→U, , причем если будем искать матрицу f, соответствующую базисам (1) и (2), то получим матрицу А. По определению 10.1. и построению отображения f. n

Теорема 10.4. Если (1) и (2) – базисы линейных пространств V и U над Р. f: V→U – линейное отображение, имеющую матрицу , соотв. базисам (1) и (2), то , имеющего в базисе (1) столбец вектор имеет в (2) столбец . Тогда . Доказательство: По условию . По построению матрицы А, , тогда . Сравним два выражения f(v) получаем, т.к. (2) – базис, что n

Дата добавления: 2014-11-29