Характеристические многочлены и собственные числа

Инвариантные подпространства. Собственные векторы. Простейшие свойства

Азн.16.1. f ÎEnd(V). Подпространство U пространства V называется инвариантной относительно f (или f - инвариантной), когда Î U Î U (1)

Прыклад 16.2.1. V =V₂, pr_x – проекция на ось Ox. U ₁=R R} - инвариантная относительно pr_x подпространство, так как R, U ₁. U ₂=R R} - также инвариантные относительно pr_x подпространство, так как R, R U ₂. R U ₂.

16.2.2. V = V₃, f – поворот вокруг оси Oz на угол . f - инвариантными являются U _z і U _xoy - просторо векторов плоскости xOy.

16.2.3. Для оператора D деференцирования пространства P[x] для произвольного натурального n пространства

P _n[x] является D-инвариантными.

16.2.4. Для произвольного f ÎEnd(V) подпространства і V являются f - инвариантными. Они называются тривиальными.

Св-во 16.3 Когда f ÎEnd(V), U ₁ и U ₂ f - инвариантные подпространства, тогда U ₁ U ₂ также f- инвариантное подпространство. Доказ. Рассмотрим U ₁ U _{2 .} То U ₁ откуда следует, что Î U ₁. Аналогично, Î U ₂, ■

Азн. 16.4. Ненулевой вектор Î V называется собственным вектором оператора f ÎEnd(V), когда существует ÎP такой, что f . При этом говорят, что - собственная значимость линейного оператора f, которое соответствует вектору .

Прыклад 16.5. У линейного оператора pr_x линейного пространства V₂ вектор является собственным из собственной значимостью 1, поскольку . Т.к. , вектор - собственный, которому соответствует собственная значимость 0.

Св-во 16.6. Когда - собственный вектор линейного оператора f ÎEnd(V), которому соответствует собственная значимость ÎP, тогда для произвольного ÎP\{0} вектор также является собственным вектором оператора f, которому также соответствует собственная значимость . Доказ. По условию . Тогда очевидно, что і .■

Вынік 16.7 Когда - собственный вектор линейного оператора f ÎEnd(V), которому соответствует собственная значимость , тогда подпространство P ={ ÎP} является f-инвариантной и каждый ненулевой вектор этого пространства является собственным вектором этого пространства является собственным вектором f, которому соответствует собственная значимость . Доказ. Следует из 17.6 и того, что f .■

Азн. 16.8 Пусть (3) -базис пространства V, f ÎEnd(V) і А = – матрица оператора f в базисе (3).Характеристическим полиномам матрицы А, а также характеристическим полиномам f называется полином

(4).

Азн. 16.8 Пусть (3) -базис пространства V, f ÎEnd(V) і А = – матрица оператора f в базисе (3).Характеристическим полиномам матрицы А, а также характеристическим полиномам f называется полином

(4).

Св-во 16.9 Характеристические многочлены сопряжены, матриы равны. Доказ. Пусть

■

Св-во 16.10. Определение 16.8. корректно, т.е. характеристический многочлен эндоморфизма не зависит от того, в каком базисе взята его матрица. Доказательство: Если f ÎEnd(V), в базисе (1) имеет матрицу А, в имеет матрицу В и Т – матрица перехода от базиса (1) к новому базису, то . по 16.9.: ■

Т. 16.11. Скаляр является собственным значением эндоморфизма f ÎEnd(V) . Доказательство: - собственное значение f. . Фиксируем какой-нибудь базис (1). В нем f имеет матрицу А, а имеет ненулевой столбец координат . . Рассмотрим систему . Она однородна и имеет ненулевое решение - . . Обратно: пусть . Фиксируем базис (1). Пусть А – матрица f в этом же базисе. Рвссмотрим систему . Она однородна. Ее определитель равен , значит система имеет не только нулевое решение. Пусть - ненулевое решение. Рассмотрим , который в базисе (1) имеет мтолбец координат , тогда , Равенство этих столбцов соотв. равенству столбцов координат и равенству векторов. значит - собственный вектор оператора f, которому соотвествует собственное значение . ■

Следствие 16.12: Пусть dimV=n. f ÎEnd(V) и в базисе (1) имеет матрицу А. Если - собственное значение f, то оно соответствует векторам , столбцы координат которых в базисе (1) являются ненулевым решением системы . Доказательство: доказано в 16.11. ■

Дата добавления: 2014-11-29