Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Собственные числа самосопряженных операторов




Лемма 17.6. У любого линейного оператора вещественного пространства есть инвариантное подпространство размерности 1 или 2. Доказательство: . Фиксируем произвольный базис. Оператор f в нем имеет матрицу . Рассматриваем этот многочлен как многочлен с комплексными коэффициентами. По основной теореме алгебры этот многочлен имеет корень . Если , то он соответствует некоторому и - пространство инвариантно относительно f. . Пусть . Рассмотрим систему линейных уравнений над полем комплексных чисел т.к. справа – действительная матрица, то . Рассмотрим векторы и , которые в этом же базисе, где брали матрицу А, имеют столбцы координат Х и Y, тогда АХ и АY – столбцы координат и в этом же базисе. . Рассмотрим линейную оболочку

- подпространство инвариантное относительно f. . ■

Свойство 17.7. Все собственные числа самосопряженного оператора - вещественные. Доказательство. От противоположного. Пусть f собственное число , где . Из доказательства леммы 17.6 следует,
что Г ненулевые векторы и : . ; ; ; . Но , получили противоречие. n

Теорема 17.8. f – самосопряженный оператор , тогда существует ортонормированный базис из собственных векторов f. Доказательство: ММИ по n. Если n=1, верно, т.к. любое линейное преобразование одномерного пространства есть умножение на скаляр. Пусть верно для n+1. . Возьмем произвольное собственное значение , которое соответствует . Известно, что - одномерное собственное пространство f. Рассмотрим по посылке индукции. - ортонормированный базис из собственных векторов f. Покажем, что разлагается в сумму векторов и вектора . - базис . Покажем это: разлагается по базису разлагается по . Значит система линейно независима и она является ортонормированным базисом из собственных векторов f. n

Св-во 17.9. Для любой симметричной матрицы А существует ортогональная матрица Т такая, что - диагональная. Доказательство: Пусть . Рассмотрим . Фиксируем в нем . Рассмотрим оператор f, который в этом базисе имеет матрицу А. Базис ортонормированный. Матрица симметричная, значит линейный оператор самосопряжен (по 17.4.). По 17.8. существует ортонормированный базис из собствееных векторов оператора f, в котором оператор f имеет матрицу . Возьмем матрицу Т перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов. Т.к. оба базиса ортонормированных, то Т – ортагональная. n





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 549; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.