Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Диагональные матрицы линейных операторов





Св-во 16.14. Пусть dimV=n. Линейный оператор f имеет в некотором базисе диагональную матрицу тогда и только тогда, когда это базис из собственных векторов. Доказательство: Пусть -базис из собственных векторов, -собственные значения, тогда .Обратно. Пустьв базисе оператор f имеет матрицу

Св-во 16.15. Собственные векторы линейного оператора, которые соотвествуют попарно неравным соотв. значениям, линейнонезависимы. Доказательство: ММИ по k – число векторов. , попарно различны, то она линейно независима. .Равенство (*) умножим на и прибавим к последнему равенству.

По посылке - лин. независимые. . Все коэффициенты в (*) равны нулю. Значит система векторов линейно независима. ■

Т. 16.16. Пусть и линейный операторf имеет n попарно неравных собственных значений, тогда существует базис, в котором оператор f имеет диаональную матрицу. Доказательство: Если -попарно неравные собственные значения f, то соотв. собственным векторам , которые по 16.15. линейно независимы. n линейно независимых векторов линейного пространства составляет базис из собственных векторов оператора f, тогда по 16.14. f в этом базисе диагональна. ■

Следствие 16.17. Пусть и имеет n попарно неравных собственных значений, тогда существует матрица - диагональная. Доказательство: Рассмотрим V, dimV=n. Фиксируем в нем произвольный базис .Тогда существует линейный оператор , который в этом базисе имеет операцию А. Собственное значение А и f совпадают, значит f имеет n попарно неравных собственных значений, тогда по 16.16. существует новый базис ,в котором матрица В оператора f диагональна. Возьмем T – матрицу перехода от старого базиса к новому. диагональная. ■

 

 





Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 282; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2019) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.001 сек.