Деформації суцільного середовища

Нехай в процесі деформації середовища його точки одержали переміщення u з компонентами u_x, u_y, u_z (рис. 5.3).

Деформація середовища характеризується симетричним тензором деформацій

Складові Т_e для малих деформацій визначаються за допомогою рівнянь Коші:

(5.6)

Величини e_хх, e_yy, e_zz характеризують відносні деформації видовжень ребер елементарного паралелепіпеда, а g_xy, g_xz, g_yz – деформації їх зсуву (рис 5.4).

Тензор деформації, як будь-який симетричний тензор, приводиться до головних осей

,

_.де e₁, e_2, e₃ – головні деформації положення.

Це означає, що будь-яка деформація може здійснитися простими розтягами в трьох взаємно перпендикулярних напрямках.

Різниці g₁=e₁-e₂; g₂=e₂-e₃; g₃=e₁-e₃ називаються головними зсувами.

Інваріанти тензора деформацій утворюються так само, як і для тензора напружень:

Тензор деформації може бути представлений у вигляді

, (5.7)

де – кульовий (сферичний) тензор, який визначає об’ємну деформацію ().

Девіатор деформації, який характеризує зміну форми елемента середовища через зсуви, має вигляд

Інваріанти девіатора деформації відповідно дорівнюють

(5.8)

Інтенсивністю деформацій зсуву називається величина

(5.9)

Нехай частинки середовища рухаються зі швидкістю v, складові якої відповідно дорівнюють:

Протягом часу dt середовище деформується на величину, що визначається переміщеннями v_xdt, v_ydt та v_zdt. Компоненти цієї деформації, що вираховуються з допомогою рівняння Коші (5.6), мають загальний множник dt, розділивши на який, одержимо компоненти тензора швидкостей деформацій

, (5.10)

де

(5.11)

Величини x_xx, x_yy, x_zz характеризують швидкості відносних видовжень у напрямках координатних осей, а h_xy, h_yz, h_xz – кутові швидкості перекошування прямих спочатку кутів. Швидкість відносного об’ємного розширення дорівнює

. (5.12)

Крім швидкості деформації, елементарний об’єм зазнає жорсткого зміщення, що визначається поступальною швидкістю v та обертанням з кутовою швидкістю

.

Інваріанти тензора швидкостей деформацій можна одержати так же, як і для деформацій. Наприклад, інтенсивність швидкостей деформацій зсуву

.(5.13)

Дата добавления: 2014-11-29