Диагональная процедура Кантора

Получалось, что все числовые множествав имеют одинаковую мощность. Но с множеством действительных чисел вышла осечка. Сам Георг Кантор доказал, что множество “более бесконечное”, чем множество . Более того, он показал, что даже множество точек лежащих на интервале более мощное, чем множество . Сформулируем этот факт в виде теоремы.

Теорема.

Доказательство. Предположим, что Это означает, что существует отображение . Изобразим это отображение в виде множества пар

	N

.........

Здесь слева перечислены все числа интервала , а справа все натуральные числа. А теперь построим действительное число из интервала , которого нет в в списке чисел в левой части таблицы. Это число обозначим Его -ую цифру построим по -ой цифре -го числа из левой части таблицы следующим образом:

Числа нет среди действительных чисел перечисленных в таблице. Действительно, оно отличается от первого числа первой цифрой, от второго числа второй цифрой и т.д. Это означает, что предположение о том, что неверно, и, следовательно, А значит тем более

Способ доказательства этой теоремы стали называть диагональной процедурой Кантора.

Но на этом парадоксы теории множеств не закончились, а начали переходить как бы в другую плоскость: из теоретико-множественных они становились логическими. Одним из таких парадоксов является парадокс Рассела, который имеет две формулировки. Одна из них теоретико-множественная и, возможно, сложна для понимания. А вторая формулируется в фиде притчи, и ее смысл очень прост и ясен.

Дата добавления: 2014-11-28