Парадокс Рассела в теоретико-множественном виде

Обозначим множество всех множеств. И обозначим множество всех подмножеств из , которые не содержат себя в качестве элемента, а через обозначим множество всех подмножеств из , которые содержат себя в качестве элемента. То есть

Может ли такое быть? Конечно. Например, , так как вообще по определению содержит все множества, а значит и себя тоже. А вот множество натуральных чисел , например, не содердит себя в качестве элемента. Оно содержит только числа.

А теперь, как говорят фокусники, “следите за руками”. Выясним, принадлежит ли себе множество . Предположим, что . Но это противоречит определению этого множества, потому что оно состоит только из тех множеств, которые НЕ принадлежат самим себе. Получается, что ? Тоже нет. Потому что в этом случае это множество, по определению, должно принадлежать себе. Получается, что множество не может ни принадлежать себе, ни не принадлежать себе. Но никаких других возможностей тоже нет. В этом и заключается парадокс.

Не математическая версией парадокса Рассела: парадокс брадобрея (так раньше назывались парикмахеры).

В одном маленьком ковбойском городке на Диком Западе США жил парикмахер (мужчина). Он брил всех тех мужчин из городка, которые не брились сами. Вопрос: брил ли он себя?

Если он брил самого себя как обыкновенный житель мужского пола этого городка, то он не должен себя брить как парикмахер. Если же он не брил себя как житель городка, то должен брить себя как парикмахер. То есть он не может ни брить себя, ни не брить.

Математика, точнее математики, были потрясены этими парадоксами до основания. До этого математики были уверены, что утверждения бывают истиннми и ложными. А тут выяснилось, что бывают утверждения ни истинные, и не ложные.

Начали искать причину возникновения этих парадоксов, и быстро однаружили, что парадоксы появились с введением в математику понятия множество. Начали раздаваться голоса, что теорию множеств надо “закрыть”, и забыть о ней. Это, вроде бы, должно решить все проблемы. Но авторитетнейший математик того времени Давид Гильберт сказал: “Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Георгом Кантором.” И разговоры о “закрытии” теории множеств прекратились. Решили, что парадоксы надо исследовать.

Первым большим исследованием теории множеств стала книга английского математика и философа Бертрана Рассела и его коллеги Александра Уайтхеда, которая называлась “Principia Mathematica” (Основания математики). Как выяснилось позже, на самом деле эта книга была посвящена математической логике. Вслед за этой книгой началось бурное развитие исследований по математической логике.

Дата добавления: 2014-11-28