Отрицание сложных высказываний

При помощи оператора «неверно, что» могут подвергаться отрицанию не только простые, но и сложные высказывания. При этом исходное высказывание и его отрицание будут находиться в отношении противоречия. Это значит, что в тех случаях, когда исходное высказывание истинное, его отрицание будет ложным и наоборот. Рассмотрим отрицания известных союзов.

Отрицание конъюнкции. Если подвергнуть отрицанию высказывание «Шел дождь, и светило солнце», получим высказывание «Неверно, что шел дождь и светило солнце», которое по смыслу соответствует высказыванию «Или дождь не шел, или не светило солнце». Значит, отрицание конъюнкции равнозначно дизъюнкции отрицаний, что можно выразить в виде формулы: (p ^ q) ↔ p v q

Отрицание дизъюнкции. Подвергнув отрицанию высказывание «Он или больной, или уехал в командировку», получим высказывание «Неверно, что он больной или уехал в командировку», по смыслу соответствующее высказыванию «Он не больной и не уехал в командировку». Значит, отрицание дизъюнкции равнозначно конъюнкции отрицаний, что можно выразить формулой: (p v q) ↔ p ^ q

Отрицание импликации. Отрицанием импликативного высказывания «Если деревянный брус нагреть до 100°, то он обуглится» будет высказывание «Неверно, что если деревянный брус нагреть до 100°, то он обуглится», по смыслу соответствующее высказыванию «Деревянный брус нагрели до 100°, но он не обуглился». Значит, отрицание импликации равнозначно конъюнкции основания с отрицанием следствия, что можно выразить в символической форме:

(p → q) ↔ p ^ q

Отрицание реимпликации. Отрицанием реимпликативного высказывания «Если утром на газонах трава мокрая, то ночью шел дождь» будет высказывание «Неверно, что если утром на газонах трава мокрая, то ночью шел дождь», которое по смыслу соответствует высказыванию

«Утром на газонах трава не мокрая, но ночью шел дождь». Значит, отрицание репликации равнозначно конъюнкции отрицания основания со следствием, что можно выразить формулой:

(p → q) ↔ p ^ q

Отрицание эквиваленции. Подвергнув отрицанию высказывание «Человек не может работать тогда и только тогда, когда он больной», получим высказывание «Неверно, что человек не может работать тогда и только тогда, когда он больной», смысл которого соответствует языковой конструкции «Или человек не может работать, хотя он и не больной, или он может работать, хотя и больной», что можно выразить следующим тождеством:

(p↔ q) ↔ (p ^ q) ^ (p ^ q)

Непосредственное отрицание эквиваленции равнозначно строгой дизъюнкции «Или человек может работать, или он больной»:

(p↔ q) ↔ p v q

Практическое значение выведенных тождеств заключается в возможности упрощать выражения при разного рода преобразованиях формул.

Дата добавления: 2014-11-29