Общее решение задачи для идеального волновода

В дальнейшем будем рассматривать цилиндрические волноводы. Под цилиндрическими поверхностями понимаются, как известно, поверхности, образованные перемещением прямой линии по замкнутому контуру параллельно этой прямой.

По форме поперечного сечения волноводы бывают: прямоугольные, круглые и др. Наиболее широко в настоящие время применяются в радиотехнике прямоугольные волноводы.

На основании полученных результатов процесса распространения электромагнитных волн между двумя зеркалами естественно предположить, что для волновода этот процесс может быть так же интерпретирован, как результат наложения отражённых стенками волновода элементарных волн. Однако использование применённого для случая двух зеркал наглядного метода исследования в волноводе встречает трудности из-за сложности геометрических построений.

Поэтому решение задачи в волноводе основывается на применении или непосредственного решения уравнений Максвелла внутри волновода, или используются вспомогательные векторы: вектор-потенциал или вектор Герца.

Воспользуемся вектор-потенциалом. Будем рассматривать условия распространения электромагнитных колебаний в волноводе, считая, что: сторонние токи и заряды равны нулю; стенки волновода идеально проводящие; среда внутри волновода – идеальный диэлектрик.

В такой области вектор-потенциал как электрический, так и магнитный для периодически меняющихся процессов удовлетворяет уравнению

(4.10)

где – волновое число для случая идеального диэлектрика, заполняющего внутреннюю полость волновода.

Уравнение (4.10) имеет бесконечное множество решений и решать задачу можно двояко: можно брать частное решение и, используя граничные условия на стенках волновода, найти решение, которое нас удовлетворяет; сделать некоторые предвидения для ожидаемого решения для вектор-потенциала.

Рис. 4.9

Так как мы интересуемся электромагнитным процессом, распространяющимся вдоль оси (рис. 4.9), то распределение поля в поперечном сечении будет отличаться от распределения вдоль оси . В поперечном сечении будут стоячие волны. Вдоль оси характер поля зависит от нагрузки. Если волновод бесконечный, то будем наблюдать бегущую волну. Если же имеется нагрузка и она не согласована, то будет ещё и отражённая волна. Так как стенки идеально проводящие, то волна должна быть плоской и, следовательно, поверхность постоянной фазы будет плоскость. Поскольку волновод цилиндрический, то сечение вдоль оси одинаково и не зависит от .

Исходя из этого, вектор-потенциал будем искать в виде:

(4.11)

где – единичный вектор;

– вещественная функция поперечного распределения поля;

– постоянная распространения, в общем случае комплексное число.

Так как стенки волновода идеально проводящие и диэлектрик идеальный, то – чисто мнимое число.

Вспомним, что для неограниченной среды вектор-потенциал выбирался в виде , так как никаких ограничений по направлениям не было. Необходимо отыскать такую функцию , которая удовлетворяла бы граничным условиям на стенках волновода. Подставив (4.11) в (4.10), получим:

или

(4.12)

где (4.13)

При выполнении граничных условий мы получим вполне определённые , которым будут соответствовать вполне определённые . Для того, чтобы волна распространилась, т. е. было чисто мнимым, необходимо выполнить условие:

(4.14)

Если условие (4.14) не выполняется, то волна затухает. Далее, если мы решим уравнение (4.11), затем выразим через вектор-потенциал вектора и , то мы решим поставленную задачу. Для облегчения решения задачи обычно принимают направление вектор-потенциала вдоль оси , т. е. . Следовательно,

где

Если за исходное возьмём электрический вектор-потенциал , т. е.

тогда векторы поля и определятся по формулам:

(4.15)

уравнение связи.

Вычисления по (4.15) показывают, что

Таким образом, если за исходное берём электрический вектор-потенциал , то получаем решение, соответствующее волне типа , т. е. волне, у которой магнитное поле имеет только поперечные составляющие.

Если за исходное возьмём магнитный вектор-потенциал ,т. е.

,

тогда векторы поля и определятся по формулам:

(4.16)

уравнение связи.

Вычисления по (4.16) показывают, что

Таким образом, если за исходное берём магнитный вектор-потенциал то получаем решение, соответствующее волне типа , т. е. волне, у которой электрическое поле имеет только поперечные составляющие.

В результате, проделав вычисления по формулам (4.15) или (4.16), мы решим поставленную задачу в общем виде. Опуская эти достаточно громоздкие вычисления, которые читатель при необходимости может проделать самостоятельно по приведённой схеме, приведём лишь основные физические выводы:

в любом поперечном сечении волновода, т. е. при , силовые линии электрического и магнитного полей ортогональны;

условие в сечении соответствует уравнению силовых линий в поперечном сечении волновода для вектора у -волны и для вектора у -волны;

для -волны составляющая пропорциональна электрическому вектор-потенциалу (или функции ). Остальные составляющие поля могут быть выражены через составляющую

для -волны составляющая пропорциональна магнитному вектор-потенциалу потенциалу (или функции ). Остальные составляющие поля могут быть выражены через составляющую

отношение поперечных составляющих электрического и магнитного полей для прямой и обратной волн порознь равно характеристическому сопротивлению:

-волны

-волны

где

Дата добавления: 2014-11-28