Полярная система координат на плоскости

ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Говорят, что на плоскости введена полярная система координат, если на ней выбраны точка О, называемая полюсом, полупрямая Ох, выходящая из точки О, называемая полярной осью, масштабный отрезок ОЕ = 1 и указано положительное направление отсчета угла от оси Ох до любого луча, исходящего из полюса О.

Положение любой точки М, не совпадающей с полюсом, на плоскости при помощи такой системы координат можно определить двумя числами: числом , выражающем расстояние точки М от полюса, и числом – величиной угла, образованного лучом, исходящим из полюса, содержащим отрезок ОМ с полярной осью. Положительным направлением отсчета угла считается направление против часовой стрелки от оси Ох. Упорядоченная пара чисел называется полярными координатами точки М. Первая координата называется также полярным радиусом, а вторая – – полярным углом.

Тот факт, что числа и есть координаты точки М, записывают так:

. Для полюса О считают = 0, – любое число.

Замечание. В некоторых случаях полярному радиусу приписывают знак: именно, считают , если угол измеряют от полярной оси до луча, который образуется при продолжении отрезка ОМ за точку О.

Полярные координаты и однозначно определяют положение точки на плоскости. Обратное утверждение неверно, так как каждой точке координатной плоскости соответствует одно и то же и бесчисленное множество полярных углов, которые могут отличаться друг от друга на , где . Таким образом, в отличие от декартовой системы координат, полярная система координат на плоскости не дает возможности установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек координатной плоскости и множеством упорядоченных пар действительных чисел. Для того, чтобы получить взаимно однозначное соответствие, на полярный угол налагают ограничения:

(или ).

Эти значения называются главными значениями полярного угла.

Установим связь между полярными и декартовыми координатами точки М. Для этого совместим правую прямоугольную систему координат хОу с полярной так, чтобы начало координат совпало с полюсом, а полярная ось – с положительной полуосью абсцисс. Масштабный отрезок ОЕ полярной системы координат примем и за масштабный отрезок декартовой системы (рис.3.1).

Рис. 3.1

Пусть и – полярные координаты произвольной точки М плоскости, не совпадающей с полюсом, а х и у – ее декартовы прямоугольные координаты в указанной выше системе.

По определению тригонометрических функций имеем

, (1.7)

Эти формулы выражают декартовы координаты точки плоскости через полярные. Решая систему (1.7) относительно и (при условии, что ), получаем

, (1.8)

(1.9)

или, если ,

. (1.10)

Формулы (1.8), (1.9), (1.10) позволяют вычислить полярные координаты и точки М по ее декартовым координатам х и у. При условии, что (т.е. рассматриваются главные значения полярного угла ), из (1.9) получаем

В случае, если , то из (1.10) имеем

Уравнением линии в полярной системе координат называется уравнение

Φ (ρ, φ) = 0, (1.11)

которому удовлетворяют полярные координаты и всех точек этой линии и только координаты таких точек.

В частности, уравнение линии в полярных координатах может иметь вид . Например, уравнение , где а = const, определяет в полярных координатах окружность с центром в полюсе и радиусом a; уравнение – окружность радиуса а, центр которой находится в точке ρ = а, φ = 0; уравнение ρ = аφ – кривую, которая называется спиралью Архимеда (изобразить такую кривую предлагается самостоятельно).

Дата добавления: 2014-11-29