Общее уравнение прямой

Теорема 1. В декартовой системе координат прямая выражается уравнением первой степени:

. (2.2)

Доказательство. Перепишем каноническое уравнение прямой (2.1) в виде

.

Полагая т = А, , ,приведем его к виду .

Это уравнение первой степени, так как вектор ненулевой и поэтому А и В одновременно в нуль не обращаются (А = т, ).

Теорема 2 (обратная). Всякое уравнение первой степени

(2.3)

в декартовой системе координат является уравнением прямой.

Доказательство. Пусть х ₀, у ₀ – какое-нибудь решение уравнения (2.3), т.е.

. (2.4)

Тогда уравнение

или (2.5)

будет эквивалентно уравнению (2.3).

По доказанной в предыдущем параграфе теореме это уравнение, а, следовательно, и уравнение (2.3), является уравнением прямой, направляющим вектором которой является вектор и которая проходит через точку М (х ₀, у ₀).

Теорема 3. Необходимым и достаточным условием того, что вектор коллинеарен прямой, заданной относительно декартовой системы координат уравнением (2.2), является условие

. (2.6)

Доказательство. Отложим вектор от любой точки М ₀(х ₀, у ₀).данной прямой. Конец М отложенного вектора будет иметь координаты . Вектор коллинеарен данной прямой тогда и только тогда, когда точка М лежит на данной прямой, т.е. тогда и только тогда, когда выполнено равенство

,

или

.

(, так как точка М ₀ лежит на данной прямой).

Если прямая задана уравнением (2.2) относительно декартовой прямоугольной системы координат, то вектор перпендикулярен этой прямой.

В самом деле,

,

значит вектор перпендикулярен направляющему вектору данной прямой, а потому вектор перпендикулярен и самой прямой. Вектор называется нормальным вектором этой прямой.

Уравнение называется общим уравнением прямой. Рассмотрим частные случаи расположения прямой относительно декартовой системы координат:

1. Прямая коллинеарна оси Ох тогда и только тогда, когда А = 0, так как направляющий вектор прямой коллинеарен оси Ох тогда и только тогда, когда вторая координата этого вектора равна нулю.

Уравнение прямой в случае, если эта прямая коллинеарна оси Ох, имеет, таким образом, вид Ву + С = 0 или (где ).

2. Аналогично доказывается, что прямая коллинеарна оси Оу тогда и только тогда, когда В = 0, т.е. тогда и только тогда, когда общее уравнение прямой имеет вид Ах + С = 0, или х = а .

3. Необходимым и достаточным условием того, что прямая проходит через начало координат, является равенство С = 0, так как в случае С = 0 и только в этом случае уравнение удовлетворяется координатами начала координат.

Таким образом, общее уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид Ах + Ву = 0, и обратно (т.е. любое однородное уравнение Ах + Ву = 0 первой степени определяет прямую, проходящую через начало координат).

Дата добавления: 2014-11-29