Контрольная работа 2 страница

Задачу решают методом плоско-параллельного перемещения. Данный метод решения относится к способам преобразования чертежа. Не изменяя форму и размеры плоской фигуры приводят ее в определенное положение в пространстве путем поворота и перемещения. При этом система плоскостей проекций не изменяется.

В натуральную величину плоская фигура проецируется только на параллельную ей плоскость проекций. Такое положение называют положением плоскости уровня.

Плоскостью уровня называют плоскость, параллельную одной из плоскостей проекций. Если заданная плоскость параллельна плоскости проекций П₁, то она является горизонтальной плоскостью, если параллельна П₂, то ее называют фронтальной плоскостью, если параллельна П₃, то ее называют профильной плоскостью.

Т.к. плоская фигура является ограниченной частью плоскости, то все признаки и свойства, относящиеся к плоскости, верны и в отношении и плоской фигуры.

Чтобы фигуру привести в положение плоскости уровня необходимо ее сначала привести в проецирующее положение.

Проецирующей называют плоскость, перпендикулярную одной из основных плоскостей проекций. Если заданная плоскость перпендикулярна плоскости проекций П₁, то она является горизонтально-проецирующей плоскостью, если перпендикулярна П₂, то ее называют фронтально-проецирующей плоскостью, если перпендикулярна П₃, то ее называют профильно-проецирующей плоскостью.

Если заданная плоскость перпендикулярна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в прямую линию. Плоская фигура, являясь ограниченной частью плоскости, проецируется на плоскость проекций, которой она перпендикулярна, в отрезок прямой.

Р е ш е н и е. Для решения задачи 4 можно воспользоваться начерченными в задаче 3 проекциями треугольника АВС

Чертеж преобразовывают дважды: сначала треугольник АВС приводят в проецирующее положение, а затем в положение плоскости уровня.

Пример решения задачи 4 приведен на рисунке 6.

Во фронтально-проецирующее положение треугольник приводят с помощью главной линии плоскости - горизонтали.

Горизонталь – это линия, принадлежащая плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций. Если треугольник в пространстве расположить так, чтобы горизонталь стала перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, то и треугольник будет перпендикулярен этой плоскости проекций.

На эпюре чертят проекции горизонтали (В,1), воспользовавшись одной из вершин треугольника. В плоскости проекций П₂ проекция горизонтали параллельна оси Ох, в плоскости проекций П₁ проекцию горизонтали строят по двум точкам (две точки определяют положение прямой; если точка принадлежит прямой, то проекции точки будут принадлежать одноименным проекциям прямой).

Первый поворот и перемещение треугольника производят таким образом, чтобы горизонталь (В,1) стала перпендикулярна фронтальной плоскости проекций.На эпюре перемещают горизонтальную проекцию треугольника АВС в плоскости П₁, переместив сначала горизонтальную проекцию горизонтали, прямой (В₁,1 ₁) в положение, перпендикулярное оси Ох. Повернутую (не перевернутую) и перемещенную проекцию треугольника А₁'В₁'С₁' дочерчивают с помощью циркуля (форма и размеры треугольника не должны измениться). В плоскости проекций П₂ строят, восстановив линии связи, фронтальную проекцию перемещенного треугольника – отрезок А₂'С₂'.

Второй поворот и перемещение треугольника производят так, чтобы отрезок А₂''С₂'', его фронтальная проекция, стал параллелен оси проекций Ох. Восстановив линии связи, в горизонтальной плоскости проекций строят натуральную величину заданного треугольника. Треугольник А₂''В₂''С₂'' – натуральная величина треугольника АВС.

Измерив длину стороны А₂''С₂'', по формуле, приведенной в задании определяют расстояние от вершин А и С до точки К и строят проекцию точки К₂''. Затем поочередно выстраивают проекции этой точки.

Если точка принадлежит плоскости, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям плоскости /4/.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат этой плоскости.

Строя проекции точки К необходимо воспользоваться проекциями прямой, принадлежащей плоскости треугольника АВС.

Рисунок 6 – Пример решения задачи 4 «Натуральная величина треугольника»

Лист 3. Задача 5 «Пересечение многогранников»

Задание. Построить фронтальные и горизонтальные проекции прямой призмы с основанием DEFG заданной высоты h, пирамиды SАВС и линий их пересечения. Данные к задаче приведены в таблице 3 /3/. Компановка листа 3 приведена на рисунке 7.

Вариант

А

В

С

S

D

Е

F

G

х

у

х

у

х

у

х

у

х

х

х

х

Таблица 3 – Данные к задаче 5 (координаты, мм)

Значения: А (z= 0); В (z= 77); С (z= 40); S (z= 40); D (у= 50, z= 0); Е (у= 20, z= 0); F (у= 20, z = 0); G (у= 95, z = 0); h= 85.

Задача 6

Задача 5

Рисунок 7 – Компановка листа 3

Многогранником называют геометрическое тело, ограниченное в пространстве гранями (многоугольниками). Линию пересечения граней называют ребром, точку пересечения ребер – вершиной.

Образование любой поверхности можно представить как непрерывный ряд изображений, полученный при движении одной линии (образующей) по другой линии (направляющей). В том случае, когда образующей является прямая линия, а направляющей ломаная, в пространстве описывается гранная поверхность.

Если образующая перемещается параллельно какому-либо направлению, то получается призматическая поверхность. Если такую поверхность ограничить двумя параллельными плоскостями, пересекающими образующие, то получится призма. Такие плоскости называют основаниями призмы. Призма может быть прямой и наклонной. Прямой называют призму, у которой грани перпендикулярны основанию.

Если образующую (прямую) закрепить в одной точке, то при движении по направляющей (ломаной) она опишет в пространстве пирамидальную поверхность. Если такую поверхность ограничить одной плоскостью, то получится пирамида. Такую плоскость называют основанием пирамиды.

Основания многогранников имеют форму многоугольников, по количеству углов которых называют многогранники (треугольная пирамида, четырехугольная призма). Если основание имеет форму правильного многоугольника, то многогранник называют правильным.

Если боковая поверхность многогранника проецируется в многоугольник на одну из основных плоскостей проекций, то такую поверхность называют проецирующей (это свойство удобно использовать при решении задач на построение линии пересечения поверхностей). Из рассмотренных выше многогранников к такой поверхности можно отнести прямую призму.

На эпюре изображать многогранник удобно, расположив его основание параллельно плоскости проекций. Основания, грани многогранников, перпендикулярные плоскости проекций, проецируются на эту плоскость в виде отрезков прямых линий. Основания, ребра пирамиды, призмы проецируются в натуральную величину на плоскость проекций, которой они параллельны. Ребро, перпендикулярное плоскости проекций, проецируется на нее в точку.

Линией пересечения многогранников является замкнутая ломаная линия, звенья (отрезки прямой линии) которой строят двумя способами.

1. Строят линию пересечения грани одной поверхности с гранью другой.
2. Строят точки пересечения ребра одного многогранника с гранями другого.

В том случае, когда один из многогранников является проецирующей поверхностью (занимает частное положение), линия пересечения на той плоскости проекций, которой перпендикулярна боковая поверхность многогранника, совпадает с контурами основания этого многогранника. Задача сводится к построению недостающих проекций линии пересечения.

Рассмотрим построение линии пересечения отдельных граней и ребер на примере пересечения прямой четырехугольной призмы и треугольной пирамиды (рисунок 8).

Поскольку данная призма является проецирующей (боковая поверхность перпендикулярна П₁), то на плоскости проекций П₁ линия пересечения построена. В данной задаче две линии пересечения. Условно определим, что пирамида вершиной S вошла в призму и, пройдя насквозь, вышла из нее. Так образовались линии «входа» и «выхода». Линии пересечения являются замкнутыми ломаными.

Рассмотрим построение звена линии «выхода» отрезка [ 1, 2 ], который образуется при пересечении грани призмы GF и грани пирамиды АВS. Отрезок задается двумя точками. Проекция этого отрезка на плоскости проекций П₁ уже построена. Она совпадает с проекцией грани GF ([ 1₁, 2₁ ] ≡ [ G₁,F₁ ]). Чтобы построить проекции отрезка [ 1, 2 ] на плоскости проекций П₂, необходимо построить проекции концов отрезка – точек 1 и 2. Для этого необходимо воспользоваться свойством ортогонального проецирования: если точка принадлежит отрезку прямой, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям отрезка прямой. Глядя на эпюр

(рисунок 8), определяют, что точка 1 принадлежит ребру АS, точка 2 принадлежит ребру ВS. По линиям связи строят проекции точек 1₂ на проекции ребра А₂S₂ и 2₂ на проекции ребра В₂S₂. Далее определяют видимость проекций отрезка [ 1, 2 ]. На плоскости проекций П₁ проекция отрезка [ 1, 2 ] совпадает с проекцией грани призмы GF и показывается на эпюре видимой. При определении видимости проекции отрезка [ 1, 2 ] на плоскости проекций П₂ рассматривают этот отрезок как принадлежащий грани GF призмы и грани АВS пирамиды. Если проекция отрезка принадлежит видимой проекции грани, то проекция отрезка будет видимой. Если проекция отрезка принадлежит невидимой проекции грани, то проекция отрезка будет невидимой. На плоскости проекций П₂ грань пирамиды АВS является невидимой, следовательно отрезок [ 1₂,2₂ ], принадлежащий этой грани, будет невидимым.

Рисунок 8 – Пример решения задачи 5 «Пересечение многогранников»

Рассмотрим построение линии пересечения грани ВСS пирамиды с гранями призмы (части линии «входа»). В данном случае две грани призмы GD и DЕ пересекают одну грань пирамиды. Линия пересечения будет представлять собой ломаную линию, состоящую из двух отрезков. Поскольку призма является проецирующей, проекция этой линии на плоскости П₁ очевидна –

это отрезки [ 3₁, 4₁ ] (линия пересечения грани пирамиды ВСS и грани призмы GD) и [ 4₁, 5₁ ] (линия пересечения грани пирамиды ВСS и грани призмы DЕ). На эпюре [ 3₁, 4₁ ] ≡ [ G₁,D₁ ] и [ 4₁, 5₁ ] ≡ [ D₁,F₁ ]. Чтобы построить проекцию линии пересечения на плоскости проекций П₂ определяют, что точка 3 принадлежит ребру пирамиды SС, точка 5 - ребру ВS, точка 4 является точкой пересечения ребра D призмы с гранью ВСS пирамиды. Проекции этих точек на плоскости проекций П₂ строят согласно свойству ортогонального проецирования о принадлежности точки прямой. Ребро D призмы является горизонтально-проецирующим (перпендикулярно плоскости проекций П₁). Проекции ребра D и точки пересечения этого ребра

с гранью ВСS пирамиды, точки 4, на плоскости проекций П₁ совпадают. Точку 4 рассматривают как точку принадлежащую плоскости (грани пирамиды ВСS). Согласно свойству ортогонального проецирования:

1) точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости; 2) прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат этой плоскости.

Чтобы построить проекцию точки 4 на плоскости проекций П₂, необходимо через эту точку построить прямую, принадлежащую грани ВСS пирамиды. Одной точкой этой прямой может быть одна из вершин грани ВСS. На рисунке 8 такой прямой является прямая SМ. Через точки 4₁ и S₁ строят прямую (S₁М₁). На плоскости проекций П₂ строят фронтальную проекцию этой прямой и на нее проецируют точку 4₂. Через точки 3₂, 4₂ и 5₂ строят отрезки линии пересечения и определяют их видимость на плоскости проекций П₂. Определяя видимость, каждый из отрезков рассматривают как принадлежащий граням и пирамиды, и призмы. Отрезок [ 3, 4 ] принадлежит грани призмы GD, которая на плоскости проекций П₂ является видимой, и грани пирамиды ВСS, которая на плоскости проекций П₂ также является видимой. Следовательно отрезок [ 3, 4 ] на плоскости проекций П₂ будет видимым. Отрезок [ 4, 5 ] принадлежит грани призмы DЕ, которая на плоскости проекций П₂ является невидимой. Следовательно отрезок [ 4, 5 ] на плоскости проекций П₂ будет невидимым.

Р е ш е н и е. В левой половине листа по координатам своего варианта строят фронтальную и горизонтальную проекции прямой четырехугольной призмы и треугольной пирамиды.

Линию пересечения строят по точкам пересечения ребер пирамиды с гранями призмы и ребер призмы с гранями пирамиды. Их горизонтальные проекции определяются и обозначаются арабскими цифрами на эпюре и строят их фронтальные проекции. Построенные проекции точек соединяют отрезками прямых и определяют их видимость. Проекции отрезков линии пересечения обводят цветным карандашом с учетом их видимости. Линии чертят по ГОСТ 2.303-68 «ЕСКД. Линии» /2/. Видимые ребра призмы и пирамиды и отрезки линии пересечения обводят сплошной толстой основной линией, невидимые – тонкой штриховой линией, части ребер, находящиеся внутри другого многогранника обводят сплошной тонкой линией.

Задача 6 «Сфера с вырезом (или окном)»

Задание. Построить сферу радиусомR=50 мм со сквозным поперечным вырезом (окном) призматической формы в трех проекциях. Фронтальная проекция А₂В₂С₂D₂ сквозного окна дана четырехугольником. Данные к задаче приведены в таблице 4 /3/.

Плоскость всегда пересекает сферу по окружности, которая проецируется в виде отрезка прямой, в виде эллипса или в виде окружности в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к плоскости проекций /4/.

На рисунке 9, а изображены проекции линии пересечения сферы и плоскости Р, параллельной горизонтальной плоскости проекций. Плоскость Р пересекает сферу по окружности с радиусом R_р. Окружность проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину, на фронтальную и профильную плоскости проекций – в отрезки.

На рисунке 9, б изображены проекции линии пересечения сферы и плоскости S, параллельной профильной плоскости проекций. Плоскость S пересекает сферу по окружности с радиусом R_S. Окружность проецируется на профильную плоскость проекций в натуральную величину, на фронтальную и горизонтальную плоскости проекций – в отрезки.

На рисунке 9, в изображены проекции линии пересечения сферы и фронтально-проецирующей плоскости R. Плоскость R пересекает сферу по окружности, которая проецируется в отрезок на фронтальную плоскость проекций, в эллипс – на горизонтальную и

Вариант	О	А	В	С,D
х	у	z	х	z	х	z	х

Таблица 4 – Данные к задаче 6 (координаты, мм)

Значения: для В и С, для А и D – z одинаковы.

в

Рисунок 9 – Построение проекций линии пересечения сферы и плоскости

профильную плоскости проекций. Кривую линию (эллипс) строят по ряду точек. Сначала определяют характерные точки – а, b, c, d, а затем промежуточные – 1, 2, 3, 4, 5.

Проекции характерных точек первоначально определяют на той плоскости проекций, которой перпендикулярна секущая плоскость (в рассматриваемом случае на П₂). Точки а₂ и d₂ являются точками пересечения проекции плоскости Р₂ и образующей сферы (окружности). На горизонтальную плоскость проекций образующая сферы проецируется в горизонтальную осевую линию, следовательно точки а₁ и d₁ будут принадлежать этой осевой. На профильную плоскость проекций образующая сферы проецируется в вертикальную осевую линию, следовательно точки а₃ и d₃ будут принадлежать этой осевой. Точка b₂ является точкой пересечения проекции плоскости Р₂ и фронтальной проекции экватора (горизонтальной осевой). На горизонтальной плоскости проекций проекция экватора совпадает с образующей сферы, следовательно горизонтальные проекции точки b (две точки, расположенных симметрично относительно горизонтальной оси) будут принадлежать образующей сферы (окружности). На профильной плоскости проекций проекция экватора совпадает с горизонтальной осевой линией. Широту точки определяют на горизонтальной плоскости проекций как расстояние от горизонтальной оси до точки b₁ и откладывают на профильной плоскости проекций от вертикальной осевой по линии связи. Так строят профильные проекции точки b (две точки, расположенных симметрично относительно вертикальной оси). Точка с₂ является точкой пересечения фронтальной проекции секущей плоскости Р₂ и вертикальной осевой линией. Чтобы построить точку с₁ мысленно проводят вспомогательную горизонтальную (параллельную плоскости проекций П₁) секущую плоскость через точку с₂. В результате рассечения получается окружность, радиус которой определяется на плоскости проекций П₂ (измеряют расстояние на уровне секущей плоскости от вертикальной оси до образующей). На плоскости проекций П₁ на линии связи, проведенной из точки с₂ (она совпадает с вертикальной осевой),делают засечки измеренного радиуса из центра проекции сферы. Так строят проекции точки с (две точки, расположенных симметрично относительно горизонтальной оси) на плоскости проекций П₁. Построение профильных проекций точки с (их всего две) выполняют аналогично точки b₃.

Дата добавления: 2014-11-29