Властивість лінійності зображення

Теорема подібності

Вплив на зображення зміни масштабу осі , на якій визначений оригінал , розкривається наступною теоремою:

Теорема: Якщо (додатне число) і , то , тобто множення аргументу оригіналу на додатне число приводить до ділення зображення і його аргументу на це число.

Доведення

Нехай , де , – оригінал. Тоді . Заміна змінної в інтегралі , отже, , при , а при , дає

(6.1.1)

Приклад 1. З формули на підставі теореми подібності маємо:

Приклад 2. З формули на підставі теореми подібності маємо:

Або другим шляхом:

Теорема: Зображення суми декількох оригіналів, помножених на сталі величини дорівнює сумі зображень цих оригіналів, помножених на відповідні сталі, тобто, якщо

(6.2.1)

де – сталі і , то

(6.2.2)

Доведення

Множення всіх членів рівності (5.1) на та інтегрування отриманої рівності в межах від 0 до дає:

Приклад 1. Знайти зображення за Лапласом функції

Розв¢язання

На підставі формул і властивості лінійності зображення маємо:

Приклад 2. Знайти оригінал (початкову функцію), зображення якої виражається формулою

Розв¢язання

На підставі властивості лінійності зображення виходить

З теореми єдності зображення випливає, що це єдина початкова функція (оригінал), що відповідає даній функції

Дата добавления: 2014-12-07