Суммирование дискретных функций

Пусть дискретная функция определена при положительных значениях аргумента . Требуется найти такую дискретную функцию , для которой функция является первой разностью. Эта задача аналогична задаче о нахождении первообразной в анализе непрерывных функций. Искомая функция имеет вид

, где

Действительно

.

Функция называется первообразной для дискретной функции .

Если дискретная функция определена при всех целочисленных значениях аргумента k=0,±1, ±2,…, то для определения первообразной необходимо дополнительно потребовать, чтобы при каждом конечном сходился ряд . При этом условии первообразная определяется выражением

.

Если функция является первообразной для функции , то и функция также является первообразной для дискретной функции , где – постоянная величина. Действительно

.

Таким образом, общий вид первообразной для данной дискретной функции определяется формулой

.

Значение постоянной можно выразить через значение первообразной при некотором фиксированном значении аргумента, например при

.

Подставляя полученное выражение в формулу (19), найдем

.

Откуда

(20)

для любого .

Формула (20) является аналогом соответствующей формулы интегрального исчисления, связывающей интеграл с первообразной, ее можно записать в виде

, для . (21)

Сумму, стоящую в правой части этого выражения, иногда называют определенной суммой по аналогии с определенным интегралом. Учитывая условие , можно переписать равенство (21) следующим образом

(22)

или при

. (23)

Для дискретных функций справедлива формула суммирования по частям, аналогичная формуле интегрирования по частям для обычных функций. Если в формуле (23) положить

, .

то

.

Дата добавления: 2014-12-07