Случайные функции и их вероятностное описание

Случайные функции так же, как и случайные величины, должны определяться вероятностными законами распределения их реализаций. Каждая реализация случайной функции ξ(t) представляет функцию времени x_i(t). Если на спектр случайного сигнала не наложить никаких ограничений, то его реализация даже при конечной их длительности будут определятся бесконечным числом координат, представляющих значения функции x_i(t) в различные моменты времени. Вероятностное описание такой случайной функции эквивалентно вероятностному описанию бесконечномерной случайной величины и соответственно требует использования бесконечномерных законов распределения.

Задача описания случайной функции значительно упрощается, если ширину ее спектра ограничить сверху величиной F_в. В этом случае каждая реализация случайной функции длительностью T в соответствии с теоремой Котельникова полностью определяется дискретной выборкой, содержащей N=2F_BT отсчетов, следующих с интервалом Δt=1/2F_B. Такая случайная функция может быть задана N-мерным дифференциальным законом распределения, определяющим плотность вероятности ω_N(x₁, x₂, …,x_N) ее реализации, характеризуемой совокупностью значений x₁, x₂, …,x_N в дискретных точках отсчета.

Вероятность того, что осуществится реализация, значения которой в дискретных точках отсчета лежат в пределах (x₁, x₁+dx₁), …,(x_N, x_N+dx_N), равна ω_N(x₁, x₂, …,x_N)dx₁dx₂…dx_N.

Заменяя непрерывные реализации x_i(t) N-мерной дискретной выборкой, мы тем самым все реализации, имеющие одинаковый спектр до некоторой граничной частоты F_в и отличающиеся лишь высокочастотными составляющими спектра за этой границей, заменяем некоторой средней реализацией, соответствующей «усечению» спектров верхней границей F_в. Среднеквадратическая ошибка представления всех этих реализаций общей N-мерной выборкой по теореме Котельникова не превосходит , где ΔE – энергия, приходящаяся на часть спектра реализаций, лежащую выше границы F_в. Выбор размерности закона распределения ω_N(x₁, x₂, …,x_N), характеризующего случайную функцию ξ(t), зависит от требований к точности представления ее реализаций. Чем меньше размерность N закона распределения (чем меньше выбрана граничная частота F_в), тем больше величина ΔE/T, характеризующая погрешность представления реализаций случайной функции данной выборкой. И, наоборот, чем больше размерность N закона распределения, тем выше точность представления реализаций случайного сигнала.

Дата добавления: 2014-12-07