Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Изоморфизм частично упорядоченных множеств




 

Частично упорядоченные множества p) и (Y, p ¢) изоморфны, если чуществует биекция , сохраняющая отношение порядка, т.е. таких, что p , выполняется p ¢ .

Пример. Рассмотрим множество T точек горизонтальной прямой, упорядоченное отношением L – “лежит левее или совпадает”, и множество действительных чисел R с введенным на нем отношением порядка “£”. Тогда (T, L) изоморфно (R, £) и, решив задачу на множестве R, мы иллюстрируем решение с помощью множества T, так как структура этих множеств одинакова.

Теорема. Всякое частично упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству его булеана, упорядоченному отношением включения.

Пример. Рассмотрим частично упорядоченное множество (X, ½) из 1.2.7. Так как состоит из элементов, то его булеан B (X) содержит элементов – подмножеств множества X. Выберем из них 4 подмножества следующим образом: сопоставим каждому элементу подмножество B (X), включающее те и только те элементы y, которые являются делителями элемента x:

.

Получим множество B (X), где , , , . Частично упорядоченные множества (X, ½) и () изоморфны (рис. 1.10).

 
 

 

 


Доказательство теоремы. Пусть задано произвольное упорядоченное множество p). Построим подмножество B (X) с помощью соответствия: каждому элементу сопоставим p x } и обозначим .

Покажем, что соответствие является биекцией, т.е. выполняются условия аг определения биекции из 1.2.1. Условия ав выполняются согласно способу построения множества F: каждый элемент имеет единственный прообраз , а каждый элемент множества F имеет прообраз . Покажем, что этот прообраз – единственный. Предположим противное: существует два различных элемента , имеющие одинаковые прообразы и , т.е. , но .

В силу рефлексивности отношения порядка “ p ” имеем:

a p a p b.

Аналогично,

b p b p a.

Так как отношение порядка антисимметрично, получим , что противоречит нашему предположению. Следовательно, различные элементы имеют различные прообразы: , а отображение является биекцией.

Докажем, что биекция сохраняет порядок, т.е. если и a p b, то . Согласно определению включения множеств достаточно показать, что выполняется .

Возьмем произвольный элемент . Тогда x p a, но a p b, поэтому x p b (в силу транзитивности отношения порядка) и . Доказано включение .

Итак, построенное отображение B (X) является биекцией, сохраняющей отношение порядка. Следовательно, частично упорядоченные множества (X, ½) и () изоморфны. Теорема доказана.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-07; Просмотров: 1122; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.