Метод множителей Лагранжа

Постановка задачи нелинейного программирования

В общем виде ЗНП формулируется след образом:

где и (или) нелинейны.

Например,

Для ЗНП, в отличие от ЗЛП, нет единого метода решения. В зависимости от вида целевой функции и ограничений разработано несколько специальных методов решения, к которым относятся методы множителей Лагранжа, квадратичное и выпуклое программирование, градиентные методы, ряд приближенных методов решения, графический метод.

Пусть требуется решить ЗНП следующего вида

где и (или) непрерывны и дифференцируемы.

Для решения задачи вводят так называемую функцию Лагранжа L (x, l):

.

Метод функции Лагранжа сводит ЗНП на условный экстремум к задаче нахождения локального экстремума.

Алгоритм метода:

1) Составляют функцию Лагранжа.

2) Находят стационарные точки функции Лагранжа из системы уравнений:

3) Из найденных стационарных точек выбирают те, в которых функция L (x, l) имеет локальные экстремумы. Функция L (x, l) имеет в стационарной точке локальный максимум, если в ней дифференциал второго порядка меньшего нуля (d ² L<0), и локальный минимум, если дифференциал второго порядка больше нуля (d ² L>0).

Множителям Лагранжа можно придать экономический смысл. Если F (x ₁ ,x ₂ …x_n) – доход, соответствующий плану x= (x ₁ ,x ₂ …x_n), – затраты некоторых ресурсов, тогда множители будут показывать как изменится максимальный доход, если количество ресурса i -го вида увеличится на единицу.

Задача. Найти условный минимум функции при ограничениях

Составим функцию Лагранжа:

.

Найдем стационарные точки функции Лагранжа из системы уравнений:

Решая систему, получаем .

Запишем дифференциал второго порядка функции Лагранжа. Поскольку все частные производные второго порядка, в записи которых присутствуют , равны нулю, то формула дифференциала второго порядка для функции Лагранжа примет вид:

.

Так как , , , , , , то

.

Следовательно, точка является точкой минимума функции . Найдем значение функции в данной точке:

.

Ответ: , .

Дата добавления: 2014-12-07