Векторные диаграммы на комплексной плоскости

На комплексной плоскости (рис. 3.2) вектор представляют комплексным числом соответственно в алгебраической, тригонометрической и показательной формах:

a+jb=A cosa+ jA sin a = Ae^ja,

где .

Принимая α = ωt + φ, получим .

Таким образом, косинусоидально изменяющийся ток можно представить как вещественную часть комплексного числа

.

При изменении времени t вектор будет вращаться на комплексной плоскости против часовой стрелки. При этом гармонический ток будет равен проекции этого вращающегося вектора на ось +1. Если возникает необходимость суммировать два гармонических тока

,

то их целесообразно изобразить двумя вращающимися векторами, представив их также и в комплексной форме (рис. 3.3), затем определить их сумму в комплексной форме

и взять вещественную часть от полученного комплексного числа . На графике это соответствует геометрической сумме двух векторов.

Отметим, что при изменении времени t все векторы будут поворачиваться, не изменяя взаимного положения друг относительно друга. Это дает основание для того, чтобы в большинстве случаев не учитывать это вращение, а строить векторные диаграммы, учитывающие взаимное положение векторов при t = 0 = const. При этом каждый ток будет представлен комплексной амплитудой

.

Формально такие же значения будут присутствовать в уравнении напряжений, если левую и правую части разделить на e^jwt. Если еще разделить обе части этого уравнения на , то вместо амплитуд будут действующие значения токов в комплексной форме записи. Их называют комплексы токов и обозначают с точкой вверху: , .

Аналогично можно записать комплексы напряжения и ЭДС:

.

П р и м е р 3.1. Известен комплекс тока . Записать мгновенное значение тока.

Р е ш е н и е. Записываем сначала комплекс тока в показательной форме , затем умножаем его на и берем вещественную часть

.

П р и м е р 3.2. Известны мгновенные значения напряжений , . Определить сумму напряжений.

Р е ш е н и е. записываем комплексные амплитуды напряжений , . Тогда комплексная амплитуда суммарного напряжения равна

Умножаем комплексную амплитуду на e ^{314 t} и берем вещественную часть:

.

Дата добавления: 2014-12-27