Преобразование электрических цепей

Расчет параметров электрических цепей можно значительно упростить, если выполнить определенные преобразования – заменить последовательное или параллельное соединение сопротивлений некоторым эквивалентным, преобразовать схему соединения «звезда» в схему соединения «треугольник», выполнить перенос источников в схеме.

Преобразование сопротивлений. При последовательном соединении сопротивлений эквивалентное сопротивление (рис. 2.19, а) определяют простым суммированием R _э= R ₁+ R ₂+ R ₃.

При параллельном соединении суммируют проводимости (рис. 2.19, б) или .

Для двух сопротивлений

или .

При соединении сопротивлений по схеме «звезда» целесообразно преобразовывать их в схему «треугольник» (рис. 2.19, в). При этом

(2.18)

Так как эквивалентность преобразования должна сохраняться при любых режимах, то, приняв g ₃=0, получим g ₁₃= g ₂₃=0, g ₁₂= g ₁ g ₂/(g ₁+ g ₂), т.е. разрыв ветви 3 в схеме «звезда» соответствует разрыву ветвей 1–3 и 2–3 в схеме «треугольник», а сумма сопротивлений R ₁ и R ₂ в схеме «звезда»

правильно преобразуется в сопротивление R ₁₂ в схеме «треугольник». Аналогично рассматриваются режимы при g ₁=0 и g ₂=0, что подтверждает правильность уравнений (2.18).

Решая систему уравнений (2.18), получим уравнение для обратного преобразования схемы «треугольник» в схему «звезда»

(2.19)

П р и м е р 2.11. Определить входное сопротивление цепи (рис. 2.20, а), если R ₁=2 Ом, R ₂=1/3 Ом, R ₃= R ₅= R ₇=1 Ом, R ₄=0,5 Ом, R ₆=3 Ом.

Р е ш е н и е. 1. Заменим сопротивления R ₂, R ₄, R ₅, соединенные по схеме «звезда», на эквивалентные сопротивления, соединенные по схеме «треугольник» (рис. 2.20, б).

g_ab = 3∙2/(3+2+1) = 1 См; g_bс = 2∙1/(3+2+1) = 1/3 См;

g_aс = 3∙1/(3+2+1) = 0,5 См.

2. Определим эквивалентные сопротивления для параллельно включенных сопротивлений

g_ab3 =g_ab + 1/ R ₃ = 1 + 1 =2 См; g_bс6 =g_bс + 1/ R ₆ = 1/3 + 1/3 =2/3 См;

3. При последовательном соединении они дадут

R _э = 1/ g_{ab 3}+ 1/ g_{bс 6} =1/2 + 3/2 = 2 См.

4. Параллельно включенные сопротивления (рис. 2.20, в) заменим эквивалентным сопротивлением с проводимостью

g_э = g_aс + 1/ R _э+ 1/ R ₇ = 0,5 + 1/2 + 1 =2 См;

5. Определим входное сопротивление цепи

.

Преобразование источников. Во многих случаях целесообразно преобразовать ветви, содержащих источник ЭДС и сопротивление, в источник тока или наоборот (рис. 2.21, а, б).

При этом значения ЭДС и тока связаны уравнением E=JR.

Если источник ЭДС подключен к узлу, где сходится несколько ветвей, то возможно «расщепление» источника ЭДС (рис. 2.21, б). При этом, очевидно, режим в цепи не изменится – всегда можно, соединив накоротко выводы всех источников, заменить их одним (показано пунктиром).

Источники тока также «расщепляют» (рис. 2.22), параллельно каждому сопротивлению. При этом режим в цепи не нарушается. Получившиеся источники токов с параллельно включенными проводимостями можно преобразовывать в эквивалентные источники ЭДС (рис. 2.22).

П р и м е р 2.12. Определить токи в схеме (рис. 2.23, а), если Е ₁=6 В, Е ₃=3 В, J =1 А, R ₁= R ₂=2 Ом, R ₃=3 Ом, R ₄= 1 Ом.

Р е ш е н и е. 1. Заменим источник ЭДС Е ₁ и сопротивление R ₁ эквивалентным источником тока J ₁= E ₁/ R ₁=3 А (рис. 2.23, б), а источник тока J и сопротивление R ₄ – эквивалентным источником ЭДС E _э= JR ₄=1 А.

2. Заменим сопротивления R ₁ и R ₂ эквивалентным Ом и источник тока J ₁ с параллельно включенным сопротивлением R _э – эквивалентной ЭДС E_J = J ₁ R _э=3 В (рис. 2.23, в).

3. Определим ток в последовательной цепи (рис. 2.23, в):

.

4. Чтобы определить токи в исходной схеме (рис. 2.23, а), определим ток для узла 2 по первому закону Кирхгофа I ₄= I ₃+ J =1+1=2 А и напряжение на сопротивлении R ₄ U ₄= I ₄ R ₄=2 В.

По второму закону Кирхгофа I ₃ R ₃+ I ₄ R ₄– I ₂ R ₂= E ₃, откуда I ₂ R ₂= I ₃ R ₃+ I ₄ R ₄– E ₃=3+2–3=2 В, I ₂= I ₂ R ₂/ R ₂= 1 А. Тогда I ₁= I ₂+ I ₃=2 А.

Дата добавления: 2014-12-27