Решение. Вал испытывает деформацию изгиба с кручением

Решение

Вал испытывает деформацию изгиба с кручением.

Расчетная схема изгиба показана на рисунке 8.9 б.

Изгибающий момент равен

.

Расчетная схема кручения показана на рисунке 8.9 г.

Крутящий момент равен

Эпюры изгибающих и крутящих моментов показаны на рисунке 8.9 в, д.

Условие прочности по третьей теории прочности имеет вид:

или

– осевой момент сопротивления

откуда

Тогда допускаемая нагрузка .

Задача 8.4

Круглый дорожный знак, рисунок 8.10, укреплен на полой стойке круглого сечения с наружным диаметром . Исходя из условия прочности по теории касательных напряжений, определить толщину стенки стойки при допускаемом напряжении , если наибольшая ветровая нагрузка на знак составляет .

Рисунок 8.10

Стойка испытывает деформацию изгиба и кручение. Расчетная схема изгиба с кручением показана на рисунке 8.10 б.

Определим силу, действующую на знак

Изгибающий момент равен

Крутящий момент равен

Эпюры изгибающих и крутящих моментов представлены на рисунке 8.10 в, г.

Записываем условие прочности по третьей теории прочности

– осевой момент сопротивления кольцевого сечения, где

Подставим полученные выражения изгибающего и крутящего моментов в условие прочности.

Внутренний диаметр стойки равен

Толщина стенки равна

.

Задача 8.5

Для показанного на рисунке 8.11 сечения определить напряжения в опасных точках и построить эпюру . кН, размеры даны в [см]. Сила Р действует перпендикулярно в плоскости чертежа в точке D.

1. Определим площадь заданного сечения:

;

;

2. Определим ординату центра тяжести заданного сечения (рисунок 8.12 а)

Рисунок 8.11

3. Определим моменты инерции каждой фигуры, относительно своих центральных осей:

4. Определим моменты инерции относительно центральных осей :

5. Определим квадраты радиусов инерции сечения:

6. Координаты точки приложения внешней нагрузки:

7. Определим положение нулевой линии:

Опасными являются точки поперечного сечения, наиболее удаленные от нулевой линии, т.е. точки С и В.

8. Определим напряжения в опасных точках сечения:

Рисунок 8.12

Эпюра нормальных напряжений показана на рисунке 8.12.

Задача 8.6

Каменный столб с объемным весом кладки 2 т/м³ = 20 кН/м³ нагружен как показано на рисунке. Определить наибольшее и наименьшее сжимающее напряжение в его подошве и указать точки, где они имеют место (рис. 8.13).

Для определения полного напряжения в подошве столба воспользуемся принципом независимости действия сил, то есть сначала определим напряжения только от собственного веса, а затем от нагрузки Р = 150 т = 1500 кН.. Полученные результаты будем суммировать алгебраически.

1. Собственный вес столба равен

2. Определим напряжение от собственного веса

3. Для определения напряжения от действия силы Р запишем условие прочности при внецентренном действии нагрузки

.

Рисунок 8.13

4. Определим координаты точки приложения внешней нагрузки

5. Определим координаты опасных точек в подошве столба

=1,5 м Y_D = 1 м

6. Определим квадраты радиусов инерции сечения

7. Определим напряжения в точках К и D.

8. Общее напряжение в подошве столба равно

Наибольшее и наименьшее сжимающее напряжения в подошве столба возникают в точках D и К.

Задача 8.7

Нормальное напряжение в точке А сжатого бруса (рис. 8.14) равно 1,2 МПа (растяжение), в точке В оно равно нулю. Чему равно напряжение в точке С?

Брус испытывает внецентренное действие нагрузки.

Условие прочности при внецентренном действии нагрузки имеет вид

Неизвестны в этой формуле Z_p -?, i_Y² -?, Y_P = 0, P -?

А=400400=160000 мм²

Определим координаты точки приложения внешней нагрузки (рис.8.15)

откуда

Квадрат радиусов инерции сечения равен

,

тогда

Z_А = -20 см

Рисунок 8.14

откуда .

1. Определим напряжение в точке С: Z_С = 20 см

(сжатие)

Эпюра  показана на рис. 8.15.

Рисунок 8.15

8.3 Вопросы для самопроверки

1. Какой изгиб называется косым?

2. Может ли балка круглого поперечного сечения испытывать косой изгиб?

3. Сочетание, каких видов изгиба является косым?

4. Каков общий порядок расчета при сложном сопротивлении?

5. Как определяют нормальные напряжения в опасном сечении балки при косом изгибе?

6. Напишите условие прочности при косом изгибе.

7. Как находится положение нейтральной оси при косом изгибе?

8. Как определить положение опасных точек при косом изгибе?

9. Какой вид деформации называется внецентренным растяжением-сжатием?

10. Как определяют нормальные напряжения в поперечных сечениях при внецентренном растяжении и сжатии?

11. Какой вид имеет эпюра нормальных напряжений при внецентренном действии нагрузки?

12. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении и сжатии?

13. Запишите условие прочности при внецентренном действии нагрузки.

14. Влияет ли величина приложенной нагрузки на положение нулевой линии,

15. Что называется ядром сечения?

16. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?

17. Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением? Какое напряженное состояние возникает в этих точках?

18. Как находится величина приведенного момента (по различным теориям прочности) при изгибе с кручением бруса круглого сечения?

9. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ

9.1 Расчёт сжатых стержней на устойчивость

Сопротивление материалов – наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов конструкций. Ниже излагаются основные понятия об устойчивости сжатого стержня (стойки).

Форма равновесия будет устойчивой, если малым возмущающим возмущениям соответствуют малые отклонения от положения равновесия. Равновесие будет неустойчивым, если малым возмущениям соответствуют большие отклонения от положения равновесия. Возмущением называется любое отклонение от расчетной схемы.

Для сжатого прямолинейного стержня равновесие считается устойчивым, если стержень после снятия бокового возмущения () принимает прямолинейную форму равновесия рис. 9.1 а.

Рисунок 9.1 – Формы равновесия сжатых стержней

Положение равновесия будет неустойчивым, если и после снятия бокового возмущения стойка не возвращается в прямолинейное положение, а продолжает деформироваться в направлении данного ей отклонения рисунок 9.1 в. Устойчивое положение или неустойчивое, зависит от величины сжимающей силы и жесткости стойки.

Положение равновесия, при котором теоретически возможны как прямолинейная, так и криволинейная форма равновесия, называется безразличным. Нагрузка, при которой это, возможно, называется критической рисунок 9.1 б. В этом случае при снятии бокового возмущения, стойка остается в слегка искривленном состоянии. При потере устойчивости происходит переход от прямолинейной формы равновесия к криволинейной.

Боковым возмущением не обязательно является малая временная сила , это может быть начальная кривизна стержня, эксцентриситет приложения сжимающей силы и другие факторы.

Критическая сила (при потере устойчивости в упругой стадии) вычисляется по формуле Эйлера

где – коэффициент приведения длины зависящий от способа закрепления концов стержня (Рис. 9.2);

– минимальный осевой момент инерции поперечного сечения стержня.

Рисунок.9.2 – Влияние способов закрепления концов
на коэффициент приведения длины

Допускаемая величина действующей на стойку (колонну) сжимающей силы:

;

где – нормативный (требуемый) коэффициент запаса устойчивости.

Напряжения, возникающие в поперечном сечении стержня при , называется критическим:

где – гибкость стержня;

– приведенная длина стержня;

– минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня;

9.2 Пределы применимости формулы Эйлера

Формула Эйлера применима при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня.

или

Критическое напряжение зависит от свойств материала: модуля упругости и гибкости стержня .

Предельная гибкость стержня (безразмерная величина) – это гибкость, соответствующая пределу пропорциональности материала. Вычисляется из предыдущей зависимости так:

Таблица 9.1 Предельная гибкость стержней для материалов

	Ст. 3	Ст. 5	Чугун	Сосна	Дюралюминий

Критическое напряжение различным образом зависит от гибкости стержня и материала, из которого он изготовлен. На рисунке 9.3 приведен график , для стержней из стали Ст.3.

График включает три области.

1. Стержни большой гибкости (длинные стержни) .

Критическую силу определяют по формуле Эйлера:

а критическое напряжение определяется выражением .

2. Стержни средней гибкости .

Критическое напряжение вычисляют по эмпирической формуле Ясинского Ф.С.:

где и – экспериментальные коэффициенты, имеющие размерность напряжений, для стали Ст.3: ; ;

Рисунок 9.3 – График зависимости критического напряжения от гибкости стержня для Ст. 3.

Критическую силу определяют по формуле:

3. Стержни малой гибкости (короткие стержни)

Эти стержни рассчитывают только на прочность: .

Условие прочности таких стержней имеет вид:

Расчёт сжатых стержней на устойчивость производят при помощи снижения основного допускаемого напряжения коэффициентом (таблица 9.2)

Условие устойчивости имеет вид

При помощи условия устойчивости решают три вида инженерных задач:

– проверку устойчивости;

– определение допускаемой нагрузки;

– подбор сечения стержня.

При проверочном расчёте исходят из известных размеров, форм поперечного сечения стержня и заданной нагрузки.

При проектировочном расчёте, исходя из условия устойчивости:

,

невозможно непосредственно определить площадь поперечного сечения , так как условие содержит две неизвестных величины: искомую площадь и коэффициент снижения основного допускаемого напряжения – , который зависит от площади. Поэтому подбор сечения ведут методом последовательных приближений, задаваясь предварительно величиной , тогда:

Таблица 9.1 Значения коэффициентов

Гибкость	Значение
Сталь 0С, 2, 3, 4	Сталь 5	Сталь СПБ	Чугун	Дерево
	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
	0,99	0,98	0,97	0,97	0,99
	0,96	0,95	0,95	0,91	0,97
	0,94	0,92	0,91	0,81	0,93
	0,92	0,89	0,87	0,69	0,87
	0,89	0,86	0,83	0,57	0,80
	0,86	0,82	0,79	0,44	0,71
	0,81	0,76	0,72	0,34	0,60
	0,75	0,70	0,65	0,26	0,48
	0,69	0,62	0,55	0,20	0,38
	0,60	0,51	0,43	0,16	0,31
	0,52	0,43	0,35	–	0,25
	0,45		0,30	–	0,22
	0,40	0,33	0,26	–	0,18
	0,36	0,28	0,23	–	0,16
	0,32	0,26	0,21	–	0,14
	0,29	0,24	0,19	–	0,12
	0,26	0,21	0,17	–	0,11
	0,23	0,19	0,15	–	0,10
	0,21	0,17		–	0,09
	0,19	0,16	0,13	–	0,08

Задача 9.1

Для колонны, состоящей из двух ветвей и решетки (рис. 9.4, рис 9.5), требуется подобрать поперечное сечение из прокатных профилей, определить критическую силу и коэффициент запаса на устойчивость. Значения взять из таблицы 9.2 и дополнительных исходных данных.

Таблица 9.2

№ строки	№ схемы стойки по рис. 8.4	№ схемы сечения по рис. 8.5
	I
	II
	III
	IV
	V
	VI
	VII
	VII			6,5
	IX			5,5
	Х
	е	е	г	д

Порядок расчёта

1. Начертить схему колонны.

2. Записать выражения в общем виде для гибкости , моментов инерции и радиусов инерции для двух главных плоскостей.

3. Из условия устойчивости подобрать номер прокатного профиля с сечением

Рисунок 9.4 – Схемы заданий

Рисунок 9.5 – Поперечные сечения стойки

4. Из условия равной устойчивости в двух главных плоскостях подобрать раздвижку ветвей колонны .

5. Вычислить расстояние между планками .

6. Определить критическую силу для принятого сечения и коэффициент запаса на устойчивость.

Пример решения задачи 9.1

Дано: Материал Ст. 3; ; ;

; .

1. Подобрать поперечное сечение колонны, принимая закрепление концов стержня в плоскости рисунок. 9.7 защемленными:

Момент инерции сечения относительно оси не зависит от величины раздвижки ветвей колонны, поэтому расчет ведем в плоскости .

Рисунок 9.6 – Схема установки соединительных планок

Рисунок 9.7 – Расчетная схема

Сечение подбирается методом последовательных приближений.

Из условия устойчивости следует, что

,

где – допускаемое расчётное напряжение;

– коэффициент снижения основного допускаемого напряжения, зависящего от материала и гибкости стержня.

2. Первое приближение

По таблице сортамента находим швеллер, удвоенная площадь которого равна требуемой площади

Швеллер №24^а (ГОСТ 8240-94) с параметрами:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Гибкость колонны в плоскости XOZ

;

при из таблицы 8.2

Табличное значение коэффициента значительно отличается от принятого .

Второе приближение

;

;

По таблице сортаментов определим номер швеллера № 20^а с параметрами:

; ; ;

; ; .

Гибкость колонны равна

при .

Третье приближение

;

Определим площадь сечения стержня:

;

Из таблицы сортамента определим номер швеллера № 20 с параметрами:

; ; ;

; ; ;

; ; .

3. Определим нормальное напряжение, возникшее в колонне, если её сечение состоит из двух швеллеров № 20, площадь поперечного сечения равна .

Напряжение меньше допустимого. Примем швеллер №20

Недонапряжение составляет

4. Напряжение меньше допустимого принимаем сечение, состоящее из двух швеллеров №20. Этот расчёт является необходимым, но недостаточным, так как условия закрепления колонны в плоскости иные , поэтому следует подобрать сечение и для плоскости и окончательно принять один из двух вариантов с большим типоразмером заданного профиля.

5. Определим размеры поперечного сечения колонны в плоскости

Принимаем швеллер №20а с параметрами

; ; ;

; ; ;

; ; .

Гибкость колонны из условий равной устойчивости

Максимальное напряжение равно:

Недонапряжение составляет

Окончательно принимаем сечение колонны из двух швеллеров № 20а.

Все остальные расчёты проводим для окончательно принятого сечения.

6. Определим расстояние между ветвями колонны.

Из условия равной устойчивости для составного сечения, находим расстояние между ветвями (рис. 9.7)

;

;

;

Из условия равной гибкости

; ; ; ;

;

;

.

Принимаем а = 11 см.

Рисунок 9.8 Схема к расчету расстояния между планками

7. Определим расстояние между соединительными планками ветвей колонны (рис.9.8). Расстояние между соединительными планками по СНиП – 11-23-81 не может превышать , где – минимальный радиус инерции ветвей.

Значит для данного случая

;

8. Определим критическую силу и коэффициент запаса на устойчивость . Так как , т.е. меньше 100, то критическую силу определяем по эмпирической формуле Ясинского

,

где ,

;

.

Приведённый расчёт позволяет сделать вывод том, что чем жесткость закрепления концов сжатой колонны выше при действии одной и той же сжимающей нагрузке, тем требуемая площадь поперечного сечения колонны меньше.

Задача 9.2

Определить наибольшую допускаемую величину снимающей нагрузки на колонну из двух швеллеров №30, расставленных так, что центральные моменты инерции сечения относительно обеих главных осей одинаковы (рис. 9.9). Материал – Ст.3; основное допускаемое напряжение. Длина колонны 6 м; один конец её замещен, второй свободен от закрепления.

_о, Z

Z

Рисунок 9.9

Определить необходимую наименьшую величину расстояния а.

Пример решения задачи 9.2

1. Выписываем данные прокатного профиля швеллера №30 из таблицы сортаментов:

; ; ;

; ; ;

; ; .

2. Для определения допускаемой нагрузки используем условие устойчивости.

3. Определим гибкость колонны

для

4. Определим необходимую наименьшую величину расстояния

; ;

;

;

.

9.3 Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается явление потери устойчивости сжатого стержня?

2. Что называется критической силой и критическим напряжением?

3. Какое дифференциальное уравнение из теории изгиба лежит в основе вывода формулы Эйлера?

4. Запишите формулу Эйлера.

5. Как влияет жесткость поперечного сечения на величину критической силы?

6. Как влияет длина стержня на величину критической силы?

7. Какой момент инерции входит в формулу Эйлера? Возможны ли здесь исключения?

8. Что такое гибкость стержня?

9. Сформулируйте пределы применимости формулы Эйлера.

10. Какие допущения положены в основу вывода формулы Эйлера?

11. Что представляет собой коэффициент приведения длины?

12. Как устанавливается предел применимости формулы Эйлера?

13. Как определяется критическая сила по Ясинскому?

14. Какой вид имеет график зависимости критических напряжений от гибкости для стальных стержней?

15. Какой вид имеет условие устойчивости сжатого стержня?

16. Что представляет собой коэффициент , как определяется его значение?

17. Как определяется допускаемая, сжимающая сила по условию устойчивости?

18. Запишите условие устойчивости для сжатого стержня.

19. Какие типы задач решаются по условию устойчивости?

20. Влияют ли местные ослабления поперечного сечения на величину критической силы?

10. ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ

а) учет сил инерции

Условия прочности и жесткости с учетом сил инерции имеют вид

,

где напряжение при статическом действии нагрузки;

δ_ст – деформация при статическом действии нагрузки;

динамический коэффициент, учитывающий силу инерции;

а – ускорение движущегося груза, м/с²;

g = 9,81 м/с² – ускорение силы тяжести.

Ударом называется явление при котором груз Р, движущийся с некоторой скоростью V, пройдя некоторый путь Н приходит в соприкосновение с неподвижной системой.

Условия прочности и жесткости при ударном действии нагрузки имеют вид

,

соответственно динамическое напряжение и перемещение при ударе;

напряжение и перемещение, вызванные статическим действием силы, равной весу падающего груза.

Динамический коэффициент при ударе определяют по формуле

где Н – высота падающего груза.

Если учесть, что тогда

где V – скорость падающего груза в начале удара, м/с.

Дата добавления: 2014-12-27