Общее понятие финансовой эквивалентности. Эквивалентные процентные ставки

Схема начисления сложного процента. Внутригодовое начисление процентов. Схема непрерывного начисления процентов. Понятие эффективной ставки

Схема начисления простого процента и области ее применения

Простой процент (англ. simple interest) – это простейшая схема, в соответствии с которой проценты начисляются на фиксированную сумму первоначального вложения.

В этом случае имеет место следующий процесс капитализации:

Табл. 1.1

Капитализация при начислении простого процента

Момент времени t	Сумма, накопленная к моменту t (FV)
	FV=PV
	FV=PV+PV´r= PV´(1+r)
	FV=PV+PV´r+PV´r= PV´(1+2r)
	FV=PV+PV´r+PV´r+PV´r= PV´(1+3r)
…
T	FV=PV´(1+rT)

Очевидно, что функция простого процента линейная, процентная ставка r выступает в ней коэффициентом линейной функции (определяет угол наклона графика).

Задача 1

Вклад в размере 1000 долл. осуществлен на условиях начисления простой годовой ставки 12%. Рассчитайте суммы, которые будут на счете через 1, 2, 3 года? В какой зависимости находятся полученные значения?

FV₁=1000´(1+1´0.12)=1120

FV₂=1000´(1+2´0.12)=1240

FV₃=1000´(1+3´0.12)=1360

Зависимость линейная.

Задача 2

На какой срок необходимо поместить денежную сумму под простую процентную ставку 8% годовых, чтобы она увеличилась в полтора раза?

PV(1+0,08t)=1.5PV

0.08t=0.5; t=6.25 лет

Схема простых процентов применяется преимущественно при незначительных сроках финансовых операций, когда начисление процента на капитал предусмотрено единожды. Другим распространенным примером применения схемы простых процентов служат операция учета векселей.

Вексель – ценная бумага, представляющая собой обязательство выплатить его держателю определенную сумму в обозначенный момент времени. Сумма к погашению называется номиналом векселя (F). Номинал может быть задан фиксировано либо с учетом процентов на срок долга. Сумма, по которой такая ценная бумага может быть продана в заданный момент времени, называется учетной стоимостью (P) и определяется по формуле:

, где (1.6)

n – время до погашения векселя;

d – учетная ставка.

Очевидно, что P всегда меньше F. Разница (F-P)= Fnd представляет собой получаемые банком комиссионные. Очевидно, что стоимость ценной бумаги будет возрастать с приближением срока уплаты по векселю и, напротив, снижаться, если n растет. Из формулы (1.6) вытекает, что n должно быть меньше 1/ d, в противном случае величина дисконтного множителя и суммы P будет отрицательной, т.е. при большом сроке n учет векселя теряет экономический смысл.

Задача 3

Вексель учтен банком по учетной ставке 20% годовых простых по цене 5000 за 3 года до срока уплаты по векселю. Каков номинал векселя?

d=20%; P=5000; n=3

F=P/(1-nd)=5000/(1-3*0.2)=12500

Задача 4

Господин N выписал вексель с обязательством вернуть 10 000 через 4 года. По какой цене этот вексель будет учтен банком через 1, 2, 3 года с учетной ставкой 20% годовых простых?

F=10000

n=3 через год (4-1) P1=10000(1-3*0.2)=4000

n=2 через 2 года (4-2) P2=10000(1-2*0.2)=6000

n=1 через 3 года (4-3) P3=10000(1-1*0.2)=8000

Очевидно, что суммы, получаемые при изменении срока до погашения, также как и в рассмотренных ранее задачах, находятся в линейной зависимости.

Сложный процент (англ. compound interest) – схема начисления, при которой капитализация происходит на накопленную сумму с учетом процентов за прошлые периоды. По аналогии с разделом 1.3.1, выведем расчетную формулу для этого случая (табл. 1.2).

Табл. 1.2

Капитализация при начислении сложного процента

Момент времени t	Сумма, накопленная к моменту t (FV)
	FV=PV
	FV=PV+PV´r= PV´(1+r)
	FV= PV´(1+r)+ PV´(1+r)´r= PV´(1+r)´ (1+r)= PV´(1+r)^2
	FV= PV´(1+r)^2+ PV´(1+r)^2´r= PV´(1+r)^2´(1+r)= PV´(1+r)^3
…
T	FV=PV´(1+r)^T

Функция сложного процента степенная, ее вид, а также взаимозависимость со схемой простого процента представлены на рис. 1.3.

Из рисунка видно, что при сроке 1 год (а точнее 1 период начисления) схемы простого и сложного процентов равноценны [FV= PV´(1+r)]. При сроках инвестирования менее периода начисления процента (t < 1) вкладчику выгоднее схема простого процента. При значениях t более 1 периода сложный процент дает большую накопленную сумму, нежели простой.

Рис. 1.3 Схемы начисления простого и сложного процента

Задача 5

В конце 2011 года произведен депозитный вклад в размере 4 тысяч. Определить какая сумма будет на депозите в конце 2020 года при ежегодном начислении процентов по ставке 8% годовых сложных. Правомочно ли обещание банка о том, что Ваша сумма удвоится?

Период вклада: 9 лет

FV=4´(1+0.08)⁹=8 (обещание правомочно)

Задача 6

Фирма хочет вложить свободные денежные средства в размере 60 000 на три года. Имеется два варианта вложений: а) предоставление кредита с ежегодным начислением 8% сложных; б) предоставление ссуды по ставке 9% (простых). Какой вариант выгоднее для фирмы?

Первый вариант: FV=60000(1+0.08)³=75582.72

Второй вариант: FV=60000(1+3*0.09)=76200

Выгоднее 2-й вариант, т.к. получаемая сумма будет больше.

Задача 7

На какой срок необходимо поместить 1000 долл. под ставку 17% годовых сложных, чтобы получить 3000 долл.?

1000´(1+0,17)^t = 3000

1.17^t = 3; t = log_1.173 = 7 лет

В реальной жизни проценты могут начисляться с частотой, отличной от 1 раза в год. Наиболее распространены схемы полугодового, ежеквартального, ежемесячного начисления. Если m – количество начислений в году, необходимо преобразовать выведенные нами формулы простого и сложного процента, а именно уменьшить в m раз процентную ставку и увеличить в m раз число периодов.

Схема простого процента никак не реагирует на внутригодовые капитализации:

С применением схемы сложного процента результат начнет меняться в зависимости от частоты начисления:

(1.7)

Убедиться в этом можно на примере следующей задачи.

Задача 8

Рассчитайте суммы, накопленные за 1 год на первоначальное вложение в размере 1000 долл. при следующих схемах начисления 12% годовых сложных: а) ежегодное; б) полугодовое; в) ежеквартальное; г) ежемесячное; д) ежедневное начисление. Проанализируйте зависимость накопленной суммы от числа внутригодовых капитализаций.

Вариант начисления	m	Формула для расчета
ежегодное
полугодовое
ежеквартальное
ежемесячное
ежедневное

Из таблицы видно, что с увеличением m накопленная сумма растет. Объясняется это эффектом «процента на процент», т.к. в случае применения схемы сложного процента капитализация происходит на накопленную сумму.

При более глубоком анализе полученных данных можно заметить, что темп прироста накопленной суммы снижается, т.е. каждое последующее увеличение m дает результат меньший, нежели предшествующее. Существует предел, превысить который множитель наращивания не может – это сила роста. Математически ее можно определить по формуле, представленной далее:

(1.8 )

Если m =¥, начисление процентов происходит не дискретно (через заданный временной интервал), а непрерывно. Ступенчатый процесс капитализации преобразуется в сглаженную функцию, а сама схема часто называется схемой непрерывного начисления процентов[1].

В рассмотренной нами задаче PV =1000; r =12%; t =1.

– значение накопленной суммы в случае применения схемы непрерывного начисления процентов, абсолютный максимум, который может быть получен от внутригодового начисления.

Для возможности корректного сопоставления проектов с различными периодами внутригодового начисления используется показатель т.н. эффективной ставки, которая представляет собой годовую ставку, начисляемую один раз в год и приводящую к тому же результату, что и номинальная при начислении более 1 раза в год.

Рассчитать эффективную ставку можно, воспользовавшись формулой 1.8.

, где (1.9)

r – номинальная ставка;

m – количество внутригодовых капитализаций.

Т.е. для варианта ежегодного начисления номинальная и эффективная ставки совпадут (m =1). А дальше они начнут разниться. Понять сущность эффективной ставки можно на примере следующей задачи, основанной на уже произведенных ранее вычислениях.

Задача 9

По данным задачи №8, рассчитайте эффективные ставки для рассмотренных схем начисления процентов.

Вариант начисления	m	Формула для расчета
ежегодное
полугодовое
ежеквартальное
ежемесячное
ежедневное
непрерывное	¥

Задача 10

Вы хотите купить в кредит дом, за который нужно уплатить 40 тыс. долл. Доступны два варианта оплаты:

Вариант 1: 15% стоимости дома оплачивается немедленно; остальная сумма погашается ежеквартальными платежами в течение 10 лет; предусматривается номинальная годовая процентная ставка в размере 12%, начисление ежеквартальное.

Вариант 2: 15% стоимости дома оплачивается немедленно; остальная сумма погашается ежеквартальными платежами в течение 10 лет; предусматривается эффективная годовая процентная ставка в размере 12%, начисление ежеквартальное.

Ответьте на следующие вопросы:

1. Не делая вычислений, обоснуйте, какой вариант оплаты более предпочтителен для вас.

2. Изменится ли ваше решение, если в варианте 2 эффективная ставка будет равна 13%?

Выгоднее 2-й вариант. Номинальной ставке 12% при ежеквартальном начислении будет соответствовать эффективная ставка большего значения. Следовательно, номинальная ставка для 2-го варианта, по которой нужно производить расчет, будет меньше 12% (кредит будет дешевле для нас).

Чтобы ответить на 3-й вопрос, нужно посмотреть на значение номинальной ставки при i_эф =13% и сравнить его с 12% в первом варианте.

; ;

i_эф =12% r =11.495% i_эф =13% r =12.41%

Значит, если i_эф =13%, наше решение изменится, и выгоднее окажется 1-й вариант.

1.3.3. Начисление процентов за дробное число лет (периодов)

В реальной жизни срок инвестирования совсем не обязательно должен быть кратным целому количеству лет, полугодий, месяцев и т.п. Срок может быть любым. При начислении процентов за нецелое (дробное) число лет можно использовать следующие основные схемы:

1. Схема сложного процента

, где (1.10)

w – целая часть периода;

f – дробная часть.

2. Смешанная схема, при которой на целое число периодов начисляется сложный процент, а на остаток – простой процент.

(1.11)

Чтобы определить, какая из схем выгоднее для вкладчика, нужно сравнить между собой множители и . Т.к. f < 1, всегда больше (см. также рис. 1.3). Следовательно, для вкладчика (заимодавца) смешанная схема всегда выгоднее.

На практике чаще всего приходится оперировать конкретными датами осуществления тех или иных финансовых операций. День выдачи ссуды и день ее погашения принято считать за один день. В остальном, формулы простого и сложного процента трансформируются следующим образом:

Простой процент: (1.12)

Сложный процент: , где (1.13)

t – продолжительность финансовой операции в днях;

T – количество дней в году.

Для целей осуществления финансовых расчетов далеко не всегда необходимо оперировать точным значением дней как в году так и в самой операции. Часто их задают приблизительно, исходя из условия, что в году 360 дней, в полугодии 180, в квартале 90, а в месяце 30. Такая схема называется метод «360/360». Значения t и T задаются приблизительно. Это схема обыкновенного процента с приближенным числом дней.

Если порядок сумм значителен, правомочно использование точной схемы, когда по календарю исчисляется точная продолжительность финансовой операции, а значение дней в году принимается равным 365 для не високосного года либо 366 для високосного (схема «365/360».

Иногда используется схема, в рамках действия которой число дней задается точно, а количество дней в году – приблизительно, из расчета Т =360. Это т.н. схема обыкновенного процента с точным числом дней «365/360».

Задача 11

Вклад в размере 1000 у.е. сделан 16 марта 2010г. на условиях до востребования. Ставка 5% годовых простых. 16 января 2011г. вкладчик решает снять всю сумму. Рассчитать полученные суммы для приблизительной схемы, точной схемы, а также схемы обыкновенного процента с точным числом дней.

Точное количество дней: 15+30+31+30+31+31+30+31+30+31+16=306

Приблизительное количество дней: 15+30*9+15=300

Схема «360/360»: FV= 1000(1+0.05*300/360)=1041,667

Схема «365/365»: FV= 1000(1+0.05*306/365)=1041,918

Схема «365/360»: FV= 1000(1+0.05*306/360)=1042,5

Если вклад равен 1 млрд., разница между схемами «365/360» и «360/360» составит 833 тыс. долл. Различия схем «365/360» и «365/365» обойдутся участникам такой операции в 582 тыс. долл. Сумма получаемая по схеме «365/365» превзойдет сумму по схеме «360/360» на 251 тыс. долл.

Мы уже отмечали, что многообразие схем начисления процентов остро ставит задачу адекватного сопоставления. Эффективные ставки устраняют различия в вариантах, отличающихся частотой внутригодовой капитализации. Понятие финансовой эквивалентности в этом отношении шире и глубже. Строго говоря, эффективная ставка – разновидность финансово эквивалентной.

Финансово эквивалентными называются ставки, приводящие к одинаковым результатам. Не совпадать могут как периоды начисления, так и схемы начисления процентов, а также сроки инвестирования. Наравне с понятием эквивалентных ставок можно оперировать категориями эквивалентных денежных потоков, приводящих в результате экономической оценки к равным значениям критерия их эффективности.

Для исчисления эквивалентной ставки в каждом случае нужно приравнять результаты по двум альтернативным вариантам вложения средств.

Задача 12

Предлагается разместить капитал на два года под простую процентную ставку 15%. Определить финансово эквивалентную сложную процентную ставку, начисляемую один раз в месяц.

Для схемы простых процентов FV=PV(1+2*0.15)=PV´1.3.

Для схемы сложных процентов FV=PV(1+r/12)²⁴

(1+r/12)²⁴=1.3

1+r/12=1.3^1/24=1.011

r/12=1.1%; r=13.2%

Задача 13

Предлагается разместить капитал на три года под сложную процентную ставку 16%, начисляемую раз в квартал. Определить финансово эквивалентную простую процентную ставку.

Для схемы сложных процентов FV=PV(1+016/4)¹²=1,04¹²=1,60

Для схемы простых процентов FV=PV(1+3r)

1+3r = 1.60; r = 20%

Дата добавления: 2014-12-27