Интерполяционная формула Лагранжа. Единственность интерполяционного многочлена

Единственность интерполяционного многочлена

Задача интерполирования имеет единственное решение. Для доказательства допустим, что имеются два многочлена L_n(x) и M_n(x), оба не выше n -ой степени, удовлетворяющие условию (1) задачи:

L_n(x_i)=f(x_i), M_n(x_i)=f(x_i), i=0,1,…,n.

Разность этих многочленов P_n(x)= L_n(x)- M_n(x) является многочленом степени не выше n и обращается в нуль во всех узлах интерполяции P_n(x_i)= L_n(x_i)- M_n(x_i)= f(x_i)- f(x_i)=0.

Следовательно, уравнение P_n(x)=0 имеет n+1 корень. Уравнение n -ой степени не может иметь больше, чем n вещественных корней, поэтому многочлен P_n(x) тождественно равен нулю, т.е. L_n(x)- M_n(x) ≡ 0 или L_n(x) ≡ M_n(x).

Независимо от способа построения интерполяционного многочлена, в конечном результате всегда получается один и тот же многочлен, а представляющие его формулы могут быть различными.

Каждому узлу интерполяции , сопоставим многочлен

. (1)

Многочлен равен нулю в любом узле интерполяции , отличном от узла , так как в числителе имеется множитель , который обращается в нуль при .

В узле многочлен принимает значение равное единице, так как при числитель и знаменатель совпадают ,

Докажем, что интерполяционный многочлен можно представить формулой:

(2).

Правая часть равенства (2) является многочленом степени не выше n. В узлах интерполяции её значение равно:

,

при все числа , а при . Многочлен представленный формулой (2), удовлетворяет всем условиям задачи. Формула (2) называется интерполяционной формулой Лагранжа в развернутой форме:

(3)

или

L_n (x)= f (x_i)

где

,

.

Теорема. Задача интерполяции всегда имеет единственное решение, которое может быть представлено формулой (3).

Пример 9. Пользуясь формулой Лагранжа, составить интерполяционный многочлен по условиям примера 7. В этом случае

Формула (3) даёт:

.

Дата добавления: 2014-12-27