Метод итераций. Уравнение следует привести к виду

Уравнение следует привести к виду . Итерационный процесс сходится при условии на .

Это требование накладывает ограничения на выбор величины k.

Таким образом, k следует выбирать так, чтобы , и знак k совпадал бы со знаком на .

Уточнение корня производится по формуле , где - значение, взятое из промежутка .

Точность вычисления можно оценить из соотношения

, где - точное значение корня,

Теорема

Если функция φ (x) удовлетворяет следующим условиям:

1. φ (x) определена и непрерывна на отрезке [ a,b ];

2. φ (x) [ a,b ], для x [ a,b ];

3. <1, x [ a,b ], то уравнение x= φ (x) имеет на отрезке [ a,b ] единственный корень и последовательность{ x_n }сходится к этому корню независимо от начального значения.

Пример. Отделить корни аналитически и уточнить их методом итераций с точностью до 0,001.

Отделим корни аналитически, для этого найдем критические точки функции, т. е. точки, в которых производная функции обращается в ноль и границы интервала, определим знак функции в них.

Производная в точках .

Составим таблицу знаков

	-∞	1/3		+∞
Sign f(x)	-	+	-	+

Так как наблюдается перемена знака функции, то уравнение имеет три действительных корня. Уменьшаем промежутки, содержащие корни.

	-1	1/3		3,7
Sign f(x)	-	+	-	+

Следовательно, корни следует искать на промежутках [-1;1/3], [1/3;3], [3;3.7].

Найдем корень на промежутке [-1;1/3]. Составим выражение

, подобрав значение k таким, чтобы обеспечить сходимость итерационного процесса на данном промежутке. Для этого вычислим значение производной на концах отрезка . Тогда

В этом случае

Пусть , тогда уточненное значение корня . Вычисления приведены в таблице.

	0,333	-0,415
	-0,415	-0,897
	-0,897	-0,853
	-0,853	-0,871
	-0,871	-0,864
	-0,864	-0,867
	-0,867	-0,866
	-0,866	-0,866
	-0,866	-0,866

На промежутке [-1;1/3] найден корень .

Теперь рассмотрим промежуток [1/3;3]. На границах этого отрезка значения производной равны нулю , а внутри отрезка для всех значений . Вторая производная в точке , значение первой производной в этой точке , тогда значение обеспечит сходимость итерационного процесса.

, .

Вычисления приведены в таблице

	3,000	2,333
	2,333	2,160
	2,160	2,236
	2,236	2,199
	2,199	2,217
	2,217	2,208
	2,208	2,212
	2,212	2,210
	2,210	2,211
	2,211	2,211
	2,211	2,211

На промежутке [1/3;3] найден корень .

Рассмотрим отрезок [3;4], значение производной на концах отрезка , можно взять , тогда

, .

	4,000	3,700
	3,700	3,670
	3,670	3,660
	3,660	3,657
	3,657	3,656
	3,656	3,656
	3,656	3,656

На промежутке [3;4] найден корень .

Пример Решить уравнение , корни отделить графически.

Для отделения корней строим графики функций , точки пересечения этих графиков являются корнями заданного уравнения (рис. 1).

Рис.1.

На графике видно, что уравнение имеет два корня на интервалах [-0,5;0] и [1;1,5]. Уточним эти корни с помощью изученных ранее методов. Результаты использования метода половинного деления на интервале [-0,5;0] приведены в таблице

	-0,5000	0,0000	-0,2500		0,4870
	-0,2500	0,0000	-0,1250		-0,1079
	-0,2500	-0,1250	-0,1875		0,1762
	-0,1875	-0,1250	-0,1563		0,0308
	-0,1563	-0,1250	-0,1407		-0,0393
	-0,1563	-0,1407	-0,1485		-0,0042
	-0,1563	-0,1485	-0,1524		0,0134
	-0,1524	-0,1485	-0,1505		0,0045
	-0,1505	-0,1485	-0,1495		0,0003
	-0,1495	-0,1485	-0,1490		-0,0020
	-0,1495	-0,1490	-0,1493		-0,0009
	-0,1495	-0,1493	-0,1494		-0,0002
	-0,1495	-0,1494	-0,1495		0,0000

В результате найден корень . Аналогично на интервале [1;1,5] ищется корень :

	1,0000	1,5000	1,2500	-0,5192
	1,2500	1,5000	1,3750	-0,1264
	1,3750	1,5000	1,4375	0,0882
	1,3750	1,4375	1,4063	-0,0205
	1,4063	1,4375	1,4219	0,0336
	1,4063	1,4243	1,4153	0,0107
	1,4063	1,4153	1,4108	-0,0049
	1,4108	1,4153	1,4131	0,0029
	1,4108	1,4131	1,4120	-0,0009
	1,4120	1,4131	1,4126	0,0012
	1,4120	1,4126	1,4123	0,0003
	1,4120	1,4123	1,4122	-0,0002
	1,4122	1,4123	1,4123	0,0001

Корни могут быть найдены методом касательных, причем количество итераций, потребовавшихся для отыскания корней, меньше.

0,0000	-0,5973
-0,1707	0,0973
-0,1498	0,0015
-0,1494	0,0000

1,5000	0,3139
1,4151	0,0100
1,4122	0,0000

Корни данного уравнения найдены:

Дата добавления: 2014-12-27