Метод половинного деления. Простейшим итерационным методом нахождения корней нелинейных уравнений является метод дихотомии (метод бисекций

Простейшим итерационным методом нахождения корней нелинейных уравнений является метод дихотомии (метод бисекций, половинного деления). Его алгоритм содержит следующие этапы:

1. Найти отрезок , в котором распложен корень уравнения.

2. В качестве начального приближения взять .

3. Вычислить значения функции на концах отрезков и : .

4. Выбрать отрезок, на концах которого значения функции имеют разные знаки, и использовать его в качестве нового отрезка для следующей итерации.

В результате каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, после n итераций он сокращается в раз. Точность (погрешность) вычислений задается некоторым малым числом . Процесс вычислений продолжается до тех пор, пока значение функции после n-й итерации не станет меньшим по модулю этого заданного малого числа : , длина полученного отрезка становится меньше погрешности. Метод дихотомии медленно сходится к точному решению, однако он сходящийся.

Пример. Отделить действительные корни аналитически и уточнить их методом дихотомии с точностью до 0,001.

Обозначим

Найдем производную

Составим таблицу знаков

	-∞	-2			+∞
Sign f(x)	-	-	-	-	+

Существует одна перемена знака функции, поэтому уравнение имеет один действительный корень на промежутке [1;+∞). Уменьшаем промежуток, содержащий корень так, чтобы его длина была равна единице.

Sign f(x)	-	+

Следовательно, корень необходимо искать на промежутке [1;2].

Все вычисления приведены в таблице.

	1,0000	2,0000	1,5000		-3,3125
	1,5000	2,0000	1,7500		7,8242
	1,5000	1,7500	1,6250		1,3953
	1,5000	1,6250	1,5625		-1,1567
	1,5625	1,6250	1,5938		0,0677
	1,5625	1,5938	1,5781		-0,5571
	1,5781	1,5938	1,5859		-0,2479
	1,5859	1,5938	1,5898		-0,0909
	1,5898	1,5938	1,5918		-0,0118
	1,5918	1,5938	1,5928		0,0279
	1,5918	1,5928	1,5923		0,0080
	1,5918	1,5923	1,5920		-0,0019
	1,5920	1,5923	1,5922		0,0031
	1,5920	1,5922	1,5921		0,0006
	1,5920	1,5921	1,5921		-0,0006
	1,5921	1,5921	1,5921		0,0005

Найден корень

Дата добавления: 2014-12-27