Комбинированный метод хорд и касательных

Метод касательных (метод Ньютона).

Mетод состоит в том, что приближение корня ищется как координата точки пересечения касательной с осью О x, проведенной к кривой в точке . При этом начальное приближение не требует определения отрезка .

Уравнение касательной, проходящей через заданную точку к кривой имеет вид:

(3)

Тогда следующее приближение корня определяется как точка пересечения этой касательной с осью абсцисс:

, аналогично для n+1 –го приближения получим (4), где .

В формуле (4) , если ; , если на .

Для окончания итерационного процесса используется либо условие либо условие .

Пример. Отделить корни аналитически и уточнить их методом касательных с точностью до 0,001.

, следовательно, для вычислений применяем формулу , где . Вторая производная

Вычисления представлены в таблице.

2,0000	27,0000		0,28125
1,7188	6,0404	55,12756	0,10957
1,6092	0,7100	42,456	0,01672
1,5925	0,0150	40,6721	0,00037
1,5921	0,0000	40,63327	1,8E-07

Данные вычислений показывают, что разница между корнями достигает требуемой точности на четвертой итерации. Таким образом, получен корень .

Если и - приближенные значения корня по недостатку и избытку.

1. Если на , то

, ,

при этом .

2. Если на , то

,

при этом .

Пример. Отделить корни аналитически и уточнить их комбинированным методом хорд и касательных с точностью до 0,001.

, следовательно, для вычислений применяем формулы

,

где - значения корня по недостатку и избытку соответственно, .

x n	F (x n)		F ()
1,0000	-10,0000	2,0000	27,0000	1,0000		37,0000
1,2703	-8,3533	1,7188	6,0404	0,4485	55,127	14,3937
1,5305	-2,3064	1,6092	0,7100	0,0786	42,456	3,0164
1,5907	-0,0575	1,5925	0,0150	0,0018	40,6721	0,0725
1,5921	0,0000	1,5921	0,0000	0,0000	40,6332	0,0000

Дата добавления: 2014-12-27