КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Умножение преобразований
Часто в геометрических задачах приходится иметь дело не с одним преобразованием, а с последовательным выполнением двух и более преобразований. Результат последовательного выполнения преобразований называется произведением, или умножением, или композицией преобразований. Сказанное можно представить в виде схемы (рисунок 1.9):
Рисунок 1.9 – Наглядное представление произведения преобразований
Здесь представлено два преобразования и плоскости, выполненные последовательно. Сначала выполняется преобразование , переводящее точку (прообраз первого преобразования) в точку (образ первого преобразования) т.е. , затем – второе преобразование , переводящее точку (прообраз второго преобразования) в точку (образ второго преобразования), т.е. . Результирующее (сквозное) преобразование , переводящее в и есть произведение (умножение, композиция) преобразований, т.е. . Оно записывается и так: (преобразование, выполняемое первым, пишут в произведении справа). Более подробно запишем:
.
Рассмотрим несколько примеров преобразования плоскости, известных всем из элементарной геометрии [8]. Пример 1. Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат (рисунок 1.10) и точка с координатами и , т.е. . Выполним параллельный перенос, или трансляцию плоскости(преобразование ) на вектор , который переводит всякую точку плоскости в точку . Таким образом, , где . Уравнение данного преобразования имеет вид:
(1.1)
Будем пользоваться и такой записью:
. (1.2)
Рисунок 1.10 – Трансляция, или параллельный перенос плоскости на вектор
При трансляция не имеет неподвижных точек. Трансляция переводит всякую прямую линию в параллельную ей прямую.
Пример 2. Пусть , – соответственно трансляции на векторы , , т.е. , (рисунок 1.11). Тогда будет трансляцией на вектор , т.е. .
Рисунок 1.11 – Композиция трансляций
Оказывается, последовательность выполнения трансляций не влияет на окончательный результат (рисунок 1.12), что можно проверить аналитически. Таким образом, . Такие преобразования называются перестановочными, или коммутативными.
Рисунок 1.12 – Композиция трансляций
Пример 3. Преобразование , переводящее каждую точку плоскости в точку , симметричную ей относительно фиксированной прямой является симметрией относительно этой прямой, которая называется осью симметрии. В частном случае, когда осью симметрии служит одна из координатных осей, например (рисунок 1.13), закон преобразования будет иметь вид: (1.3) или . (1.4)
Неподвижными точками осевой симметрии являются только те точки, которые принадлежат оси симметрии, неподвижными прямыми являются ось симметрии и любая прямая ей инцидентная (принадлежащая).
Рисунок 1.13 – Осевая симметрия
Пример 4. Найти произведение преобразований и , где и соответственно осевая симметрия (1.4) и трансляция (1.2). Для первого случая имеем:
, , .
Аналогично для второго случая:
, , .
Данный пример показывает, что осевая симметрия и трансляция не коммутируют (произведения и различны). Поэтому в общем случае умножение преобразований не коммутативно. Кроме коммутативности следует отметить, что умножение преобразований обладает свойством ассоциативности:
.
Преобразование обладает следующим свойством:
.
При рассмотрении обратного преобразования следует отметить, что
.
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 679; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |