Непосредственно из определения следует, что

– композиция двух подобий с коэффициентами и есть подобие с коэффициентом ;

– преобразование, обратное к подобию с коэффициентом является подобием с коэффициентом .

Если обозначить подобие с коэффициентом через , то эти утверждения можно записать в виде:

, . (1.7)

Из этих соотношений следует:

– подобия плоскости образуют группу преобразований, которая называется группой подобий, или главной группой;

– подобия с коэффициентом является движением, следовательно, группа движений является подгруппой главной группы.

Здесь важно отметить следующее:

– любая гомотетия с коэффициентом (т.е. ) является подобием с коэффициентом ;

– гомотетия с данным центром образует группу (подгруппу главной группы):

, ;

– подобие с коэффициентом является композицией движения () и гомотетии с коэффициентом (т.е. ):

. (1.8)

– преобразование называется подобием 1-го рода или 2-го рода в зависимости от того, является ли движением 1-го или 2-го рода.

В заключении резюмируем:

– свойства преобразований подобия совпадают с общими свойствами движений и гомотетий;

– преобразование подобия сохраняет прямолинейность расположения точек и их порядок на прямой, переводит прямую в прямую, отрезок – в отрезок, луч – в луч, треугольник – в подобный ему треугольник, угол – в равный ему угол, параллельные прямые – в параллельные прямые.

Дата добавления: 2014-12-27