Дробный факторный эксперимент

С ростом количества факторов k число точек плана в ПФЭ растет по показательной функции 2 ^k. Планы ПФЭ позволяют получить несмещенные оценки градиента функции отклика в центральной точке, но в случае применения линейного полинома оказываются недостаточно эффективными по количеству опытов при большом числе независимых переменных, так как остается слишком много степеней свободы на проверку адекватности модели. Например, при k = 5 на проверку адекватности линейной модели остается 26 степеней. Хотя большое количество опытов и приводит к существенному снижению погрешности в оценке коэффициентов, все же такое число степеней свободы для проверки адекватности является чрезмерным.

Таким образом, в случаях, когда используются только линейные приближения функции отклика, количество опытов следует сократить, используя для планирования так называемые регулярные дробные реплики от ПФЭ, содержащие подходящее число опытов и сохраняющие основные свойства матрицы планирования. Реплика, включающая только половину экспериментов ПФЭ, называется полурепликой, включающая четвертую часть опытов – четвертьрепликой и т. д. Краткое обозначение указанных дробных реплик 2 ^{k – 1}, 2 ^{k –2} соответственно.

Построение регулярной дробной реплики или проведение дробного факторного эксперимента (ДФЭ) типа 2 ^{k – p} предусматривает отбор из множества k факторов k–p основных, для которых строится план ПФЭ. Этот план дополняется р столбцами, которые соответствуют остальным факторам. Каждый из этих столбцов формируется по специальному правилу, а именно, получается как результат поэлементного умножения не менее двух и не более k – p определенных столбцов, соответствующих основным факторам. Иначе говоря, в дробных репликах p линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия. Но именно такое построение матрицы планирования и позволяет обеспечить ее симметричность, ортогональность и нормированность.

Таблица 3.2

Матрица планирования	Вектор результатов
x 0	x 1	x 2	x 3	y
+	–	–	+	y 1
+	–	+	–	y 2
+	+	–	–	y 3
+	+	+	+	y 4

Правило образования каждого из p столбцов ДФП называют генератором плана. Каждому дополнительному столбцу соответствует свой генератор (для плана типа 2 ^{k – p} должно быть задано p различных генераторов). Генератор задается как произведение основных факторов, определяющее значение элементов соответствующего дополнительного столбца матрицы планирования. Примером записи генератора для плана 2^3–1 служит выражение x ₃ = x ₁ x ₂, табл. 3.2. Матрица планирования ДФП типа 2 ^{k – p} содержит k + 1 столбец и N = 2 ^{k – p} строк.

Дата добавления: 2014-12-27