Конечные разности. Интерполяционные формулы Ньютона

Интерполяционные формулы Ньютона

Рассмотрим случаи, когда интерполируемая функция y=f(x) задается в равноотстоящих узлах так, что = x₀ + ih, где h – шаг интерполяции, а i = 0, 1, …, n.
В этом случае для нахождения интерполяционного многочлена могут применяться формулы Ньютона, которые используют конечные разности.

Конечной разностью первого порядка называется разность Dy_i = y_i+1-y_i,где y_i+1= f(x_i+h) и y_i = f(x _i). Для функции, заданной таблично в (n+1) узлах, i = 0, 1, 2, …, n, конечные разности первого порядка могут быть вычислены в точках 0, 1, 2,…, n-1:

Используя конечные разности первого порядка, можно получить конечные разности второго порядка:

Отметим, что любые конечные разности можно вычислить через значения функции в узлах интерполяции, например:

(6.3.3-1)

Для конечной разности k - го порядка в узле с номером i справедлива формула, позволяющая вычислять конечные разности с помощью таблицы конечных разностей:

.

Следует отметить, что по величине конечных разностей можно сделать вывод о степени интерполяционного полинома, описывающего таблично заданную функцию. Если для таблицы с равноотстоящими узлами конечные разностиk-го порядка постоянны или соизмеримы с заданной погрешностью, то функцию можно представить k-й многочленом.

Рассмотрим, например, таблицу конечных разностей для многочлена y=x²- 3x+2.

Таблица 6.3.3-1

x	y	Dy	D^2y	D^3y
1.0		-0.16	0.08
1.2	-0.16	-0.08	0.08
1.4	-0.24		0.08
1.6	-0.24	0.08
1.8	-0.16

В данном примере конечные разности третьего порядка равны нулю, а все конечные разности второго порядка равны 0.08. Это говорит о том, что функцию, заданную таблично, можно представить многочленом второй степени.

Введя понятие конечных разностей, рассмотрим еще две формы записей интерполяционных полиномов.

Дата добавления: 2014-12-27