Минимальные требования к правильному переводу

Укажите область действия каждого квантора в следующих формулах.

а) "x P (x,c) ÉR(x)

б) "x (P (x,c) ÉR(x))

в) $x("yQ(y)ÉR(x,y))Ú("zQ(z)ÚR(z,x))

г) ⁺ "x(P(x,y₁)º$yQ(y,x))&"z(R(x,y)ºR₁(y, x))

Зачем различать свободные и связанные вхождения переменных в формулу? Свободные вхождения переменных можно заменять на имена объектов, а для связанных вхождений такая замена – незаконна, бессмысленна. Пример Рассмотрим два выражения (записанные в прикладном языке арифметики) (1) x+y=7 (2) $х$у x+y=7. Выражение (1) ни истинно, ни ложно. Все зависит от того, что мы припишем в качестве значений переменным х и у (какими числами их заменим, точнее – именами каких чисел). Выражение (2) уже есть (истинное) предложение (оно утверждает, что есть такие 2 (допустим, натуральных) числа, сумма которых есть число 7). Замена переменных на имена конкретных объектов в этом случае бессмысленна.

5. Определить, какие вхождения переменных являются свободными, а какие связанными в следующих формулах:

а) "x P (x,c)

б) "x (P(x)ÉQ(y))

в) $x("yQ(y)ÉR(x,y))Ú("z Q (z)ÚR(z,x))

г) "x(P(x,y)É$yQ(y,z,x))

д) ⁺ "x(P(x,y)ºQ(y,x))&"z(R(x,y)ºR₁(y, x))

е) ⁺ $x(P(x)ºQ(y))

ж) ⁺ "x$y(P(x,y)ºQ(y,x))&"x"y(R(x,y)ºR₁(y, x))

Формула ЯКЛП называется замкнутой или предложением, е.т.е. она не содержит свободных переменных.

Термин предложение употребляется, таким образом, в двух смыслах: предложение естественного языка и предложение (формального) языка логики предикатов (= формула без свободных переменных)

6. Какие из следующих формул являются предложениями ЯКЛП?

а) P¹(x)

б) P¹(a)

в) $xP¹(x)

г) Q²(c,y)

д) Q³(a₂,a₂,c)

е) $x(P¹(x)& Q²(c,y))

ж) $y(P¹(y)& Q²(c,y))É ($yR¹(y)& Q²(c,y))

з) "x"x₄"y((R(x₄)& R(x)& R(y))ÉØQ³(x,y,x₄))

и) "x"x₄"y(R(x₄)& R(x)& R(y))ÉØQ³(x,y,x₄)

к) j.⁺ $z"x(R²(x,z)ºQ²(x,x))ÉØQ³(x,z,z)

Договоренность Пусть a₁, a₂,…,a_n – какие-то предметные переменные (х, х₁, у, у₂, у₁ и т.п.) и А – какая-то формула. Вместо "a₁"a₂…"a_n А будем писать "a₁, a₂,…, a_n А. Вместо $a₁$a₂…$a_n А будем писать $a₁, a₂,…, a_n А. Например, вместо "x"x₄"y (Р(x,y) Ú S(х₄,у) É Q(х,х₄)) будем писать "x,x_4,y(Р(x,y) Ú S(х₄,у) É Q(х,х₄)).

Тема 2: От выражений естественного языка к их структуре: перевод выражений естественного языка на ЯКЛП

Перевод выражений естественного языка на ЯКЛП:

одноместному предикату (естественного языка или какой-либо формальной теории) в ЯКЛП¹= соответствует формула с одной свободной переменной; двухместному – формула с двумя свободными переменными и т.д.

Примеры

Выражение быть лично знакомым (с кем-либо) - двухместный предикат: кто? знаком с кем? – нужно уточнить две позиции, чтобы получить предложение по этому выражению. Чтобы отобразить структуру этого выражения в нашем формальном языке, нужно к двухместному предикатному символу присоединить две различные предметные переменные. Например, так: P(x,y), Q(x,z), R(x,y), R(x,y). (Если в скобках после предикатного символа ввести одну и ту же переменную – P(x,х) – тогда был бы задан предикат быть лично знакомым с самим собой.)

Выражение быть лично знакомым с английской королевой Елизаветой II - одноместный предикат: кто? знаком с английской королевойЕлизаветой II – нужно заполнить одну позицию, чтобы получить предложение по этому выражению. Чтобы отобразить структурную информацию этого предиката в ЯКЛП¹, нужно ввести одноместный предикат. Сопоставляя этому выражению формулу, можно символизировать все выражение быть лично знакомым с английской королевой Елизаветой II (P¹, Q¹, R¹), а можно указать, что само это выражение составлено из двухместного предиката и логического имени. Второй вариант, разумеется, точнее отразит структуру выражения. Первому варианту соответствуют, например, формулы P(x), Q(z), R(x); второму - R(x,а), R(у,а).

Выражение знать (кого-то) лучше, чем (кого-то) - трехместный предикат: кто знает кого, лучше, чем кого. В ЯКЛП¹⁼ структурой этого выражения будут, например, такие формулы P(x,y,z), Q (x₁,y,z), P(z,z₁,x), R(y₁,y₃,y₂).

Выражение знать (кого-то) лучше, чем английскую королеву Елизавету II - двухместный предикат: кто? знает кого? лучше, чем королеву Елизавету. Ему в ЯКЛП¹ можно сопоставить формулы P(x,y,а), Q (у₁,y,а), P(z,z₁,с) и т.д.

Для того, чтобы правильно отобразить структуру логических имен и предложений естественного языка средствами языка первопорядковой логики предикатов необходимо, (хотя и недостаточно), чтобы были выполнены следующие условия:

· структура логического имени есть замкнутыйтерм (без переменных); · структура предложения естественного языка есть замкнутая (без свободных переменных) формула

Если эти условия не соблюдены, вы неправильно отобразили структуру выражения естественного языка. Если же соблюдены, то это еще не означает, что логическая форма выражений найдена правильно. Нужно, чтобы полученный терм или формула в точности воспроизводили структурную информацию рассматриваемого выражения.

Необходимо соблюдать следующие правила (список не полон):

• В правильно построенной формуле (и ЯЛВ, и ЯЛП) число левых (открывающихся) скобок всегда равно числу правых (закрывающихся) скобок.
• После квантора должна сразу идти переменная: ∃х, ∃у, ∀z и т.д. Таким образом, нельзя, например, сразу после знака квантора ставить индивидную константу: ∃а, ∀с и т.д.; также в первопорядковой логике предикатов (которую вы и изучаете) нельзя сразу после знака квантора ставить предикаторный знак: ∃Р, ∀Q и т.д.
• При переводе предложений естественного языка на ЯЛП результирующая формула должна оказаться замкнутой (т.е. не содержать свободных вхождений переменных).

NB! Понимание квантора существования в логике предикатов Обычно, говоря, существует, некоторые имеют ввиду только некоторые. Например, предложение Некоторые россияне играют в гольф предполагает все-таки, что только некоторые россияне такие. В логике предикатов некоторые, существует означает как минимум один, по меньшей мере один. Информация только некоторые, лишь некоторые выражается с помощью имеющихся логических связок.

Дата добавления: 2014-12-27