Приклади лінійно залежних та лінійно незалежних векторів

2.30. Приклад. Нульовий вектор утворює систему лінійно залежних векторів

 Щоб упевнитися в цьому, досить утворити хоча б одну нетривіальну лінійну комбінацію, яка дорівнює нулю. Такою комбінацією є 

2.31. Приклад. Вектор утворює систему лінійно не залежних векторів

 Будь-яка лінійна комбінація векторів має вигляд Оскільки з умови лінійної залежності випливає, що Отже, єдина нульова лінійна комбінація векторів – тривіальна.

2.32. Приклад. Два колінеарні геометричні вектори утворюють систему лінійно залежних векторів

 Зі шкільного курсу геометрії відомо, що колінеарні вектори завжди пов'язані між собою рівністю причому коли вектори напрямлені в один бік і коли вони напрямлені в різні боки (нульовий вектор не має певного напрямку). Переписавши рівність у вигляді переконуємося в тому, що існує нетривіальна лінійна комбінація векторів системи.

2.33. Приклад. Два не колінеарні геометричні вектори утворюють систему лінійно не залежних векторів

 Припустимо протилежне: нехай вектори системи лінійно залежні. Тоді існує нетривіальна лінійна комбінація Оскільки один із коефіцієнтів (для визначеності ) не дорівнює нулю, вектори системи пов'язані рівністю з якої випливає, що вони колінеарні, усупереч вихідному припущенню.

Дата добавления: 2014-12-29